Sejam
v.a.s independentes. Use função geradora de momentos para obter a distribuição de
, no seguinte caso:
para
.
para
Passo 1
Beleza, então o que a questão pede é o seguinte: temos
variáveis aleatórias independentes
cada uma distribuída como Binomial
. Queremos usar a função geradora de momentos (MGF) para descobrir qual é a distribuição da soma
O conteúdo aqui é Probabilidade, mais especificamente soma de variáveis independentes via MGF. Vamos precisar:
- Saber o que é e como calcular a MGF de uma Binomial.
- Saber que a MGF da soma de variáveis independentes é o produto das MGFs individuais.
- Identificar o resultado final como a MGF de outra Binomial.
Passo 2
Primeiro, relembrando MGF de uma Binomial. Se
, a MGF é
Usando a fórmula de binômio, isso soma exatamente para
Essa identidade vem de expandir
com
e
.
Passo 3
Agora, como
são independentes, a MGF da soma
é simplesmente o produto das MGFs de cada
:
Cada
tem
Então
Passo 4
Repare que
é exatamente a MGF de uma Binomial com parâmetros
Ou seja, a forma bate certinho com
para
.
Resposta
Portanto