Sejam X1, ldots, Xn v.a.s independentes. Use função geradora de momentos para obter a distribuição de Sn=X1+cdots+Xn, no seguinte caso:
Xi sim Bin(ni, p)
para i=1, ldots, n.

Passo 1

Beleza, então o que a questão pede é o seguinte: temos X1,dots,Xn, variáveis aleatórias independentes
Sn = X1 + cdots + Xn
cada uma distribuída como Binomial . Queremos usar a função geradora de momentos (MGF) para descobrir qual é a distribuição da soma
O conteúdo aqui é Probabilidade, mais especificamente soma de variáveis independentes via MGF. Vamos precisar:
  1. Saber o que é e como calcular a MGF de uma Binomial.
  2. Saber que a MGF da soma de variáveis independentes é o produto das MGFs individuais.
  3. Identificar o resultado final como a MGF de outra Binomial.

Passo 2

Primeiro, relembrando MGF de uma Binomial. Se MX(t) = El[e^tXr] = sumk=0^n e^tkbinomnkp^k(1-p)^n-k , a MGF é
MX(t) = l(1-p + p,e^tr)^n
Usando a fórmula de binômio, isso soma exatamente para
Essa identidade vem de expandir com e .

Passo 3

Agora, como MSn(t) = MX1(t)times MX2(t)times cdots times MXn(t) são independentes, a MGF da soma MXi(t) = l(1-p + p,e^tr)^ni é simplesmente o produto das MGFs de cada MSn(t) = prodi=1^n l(1-p + p,e^tr)^ni = l(1-p + p,e^tr)^sumi=1^n ni :
Cada tem
Então

Passo 4

Repare que N = sumi=1^n ni e p é exatamente a MGF de uma Binomial com parâmetros
MY(t) = (1-p + p,e^t)^N
Ou seja, a forma bate certinho com
para .

Resposta

Portanto
Sn = X1 + cdots + Xn sim Bin!l(sumi=1^n ni,;pr)

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