Sejam
v.a.s i.i.d. tendo média
e variância
e seja
, onde
. (Se
têm função de distribuição
, dizemos que
é uma amostra aleatória de tamanho
da v.a. aleatória
cuja função de distribuição é
e
é chamada a média amostral).
Qual o tamanho da amostra que devemos considerar de tal forma que
?
Qual o tamanho da amostra que devemos considerar de tal forma que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. A gente tem uma série de variáveis aleatórias $ X_1, X_2, ···, X_n $ que são independentes e têm a mesma distribuição, com média $ \mu $ e variância $ \sigma^2 $. O que a gente quer é descobrir qual o tamanho da amostra $ n $ que garante que a média amostral $ \bar{X} $ fique dentro de $ \frac{\sigma}{10} $ da média verdadeira $ \mu $ com pelo menos 95% de confiança. Para isso, vamos usar alguns conceitos de probabilidade e estatística, especificamente o Teorema de Chebyshev.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a média amostral $ \bar{X} $. Ela é calculada como:
A média amostral $ \bar{X} $ também tem média $ \mu $ e variância $ \frac{\sigma^2}{n} $ devido à independência das $ X_i $.
Passo 3
Agora, queremos que a probabilidade de $ \bar{X} $ estar dentro de $ \frac{\sigma}{10} $ de $ \mu $ seja pelo menos 95%, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Chebyshev, que nos dá uma estimativa de probabilidade para a variável estar dentro de certo desvio da média, mesmo sem assumir que a distribuição seja normal.
Passo 4
O Teorema de Chebyshev diz que para qualquer $ k > 0 $:
Onde $ \sigma_{\bar{X}} $ é o desvio padrão da média amostral, que é $ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $.
Passo 5
Queremos $ P\left( \left| \bar{X} - \mu \right| < \frac{\sigma}{10} \right) \geq 0.95 $. Isso é o mesmo que:
Comparando com o Teorema de Chebyshev, temos:
Onde $ k \cdot \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{10} $.
Passo 6
Vamos encontrar $ k $. Sabemos que $ \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $, então:
Substituindo na desigualdade de Chebyshev:
Passo 7
Resolvendo para $ n $:
Então, precisamos de uma amostra de pelo menos 2000 elementos para garantir que a média amostral esteja dentro de $ \frac{\sigma}{10} $ da média verdadeira com 95% de confiança.
Resposta
O tamanho mínimo da amostra necessário é $ n = 2000 $.