Sejam X1, ldots, Xn v.a.s independentes. Use função geradora de momentos para obter a distribuição de Sn=X1+cdots+Xn, no seguinte caso:
Xi sim Poisson(lambdai)
para i=1, ldots, n.

Passo 1

Então, olha só o que temos: o enunciado diz que Sn = X1 + X2 + cdots + Xn são variáveis aleatórias independentes e cada uma segue uma Poisson com parâmetro . A gente precisa encontrar a distribuição de
usando a função geradora de momentos (MGF). Ou seja, o conteúdo é “MGF e soma de variáveis independentes”. Para resolver vamos:
  • lembrar o que é MGF;
  • achar a MGF de cada ;
  • usar independência para achar a MGF de ;
  • identificar a que distribuição isso corresponde.

Passo 2

Primeiro, o que é MGF? Para qualquer v.a. MX(t) = E[e^tX] , a MGF é
MXi(t) = sumk=0^infty e^tk ,P(Xi=k) = sumk=0^infty e^tk e^-lambdailambdai^kk! = e^-lambdai sumk=0^infty (lambdai e^t)^kk! = e^-lambdai e^lambdai e^t = expl(lambdai(e^t -1)r)
No caso de , existe uma fórmula padrão (ou a gente pode derivar pela definição):

Passo 3

Agora, como MSn(t) = prodi=1^n MXi(t) = prodi=1^n expl(lambdai(e^t -1)r) são independentes, a MGF de MSn(t) = expl(sumi=1^n lambdai(e^t -1)r) = expl((e^t -1)sumi=1^n lambdair) é o produto das MGFs individuais:
Multiplicando exponenciais, somamos os expoentes:

Passo 4

Repara que essa forma
MSn(t) = expl(Lambda(e^t -1)r),
onde Sn sim Poissonl(Lambdar), onde Lambda = lambda1 + cdots + lambdan , é exatamente a MGF de uma Poisson com parâmetro . Pela propriedade de unicidade da MGF, a distribuição de só pode ser

Resposta

segue a distribuição .

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