Sejam
v.a.s independentes. Use função geradora de momentos para obter a distribuição de
, no seguinte caso:
para
.
para
Passo 1
Então, olha só o que temos: o enunciado diz que
são variáveis aleatórias independentes e cada uma segue uma Poisson com parâmetro
. A gente precisa encontrar a distribuição de
usando a função geradora de momentos (MGF). Ou seja, o conteúdo é “MGF e soma de variáveis independentes”. Para resolver vamos:
- lembrar o que é MGF;
- achar a MGF de cada
; - usar independência para achar a MGF de
; - identificar a que distribuição isso corresponde.
Passo 2
Primeiro, o que é MGF? Para qualquer v.a.
, a MGF é
No caso de
, existe uma fórmula padrão (ou a gente pode derivar pela definição):
Passo 3
Agora, como
são independentes, a MGF de
é o produto das MGFs individuais:
Multiplicando exponenciais, somamos os expoentes:
Passo 4
Repara que essa forma
onde
, é exatamente a MGF de uma Poisson com parâmetro
. Pela propriedade de unicidade da MGF, a distribuição de
só pode ser