O capitão Ralph tem problemas, ficou perto de uma explosão e sua nave contem mercúrio. A temperatura na superfície da nave quando está no ponto (x, y, z) é de T(x, y, z)=e^-x^2-2 y^2-3 z^2, onde x, y, z se medem em metros. No momento da explosão ele se encontra no ponto (1,-2,1).
Em qual direção deve se-mover para que a temperatura baixe o mais rapidamente possível?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar em qual direção o capitão Ralph deve se mover em torno do ponto (1,−2,1) para que a temperatura, dada por T(x,y,z)=e{−x{2}−2y{2}−3z{2}}, decresça mais rapidamente. Esse problema se resolve usando o conceito de gradiente de um campo escalar e a propriedade de que o vetor gradiente aponta na direção de maior crescimento, logo seu oposto aponta na direção de maior decrescimento.

Passo 2

O gradiente de T é o vetor formado pelas derivadas parciais de T. Como T(x,y,z)=e{−x{2}−2y{2}−3z{2}}, aplicamos a regra da cadeia e obtemos:
nabla T(x,y,z)=(partial Tpartial x,partial Tpartial y,partial Tpartial z)=e^-x^2-2y^2-3z^2(-2x,,-4y,,-6z)
Agora avaliamos em (1,−2,1). Primeiro, T(1,−2,1)=e{-(1){2}-2(-2){2}-3(1){2}}=e{-1-8-3}=e{-12}. Então:
nabla T(1,-2,1)=e^-12(-2cdot1,,-4cdot(-2),,-6cdot1)=e^-12(-2,8,-6)
A direção de maior queda é a direção de -∇T(1,−2,1), ou seja,
-nabla T(1,-2,1)=e^-12(2,-8,6)
Para obter um vetor unitário, dividimos por seu módulo. O módulo de (2,-8,6) é raiz2^2+(-8)^2+6^2=raiz104=2raiz26. Logo o versor na direção de maior queda é:
12raiz26(2,-8,6)=1raiz26(1,-4,3)

Resposta

O vetor unitário na direção de maior diminuição da temperatura em (1,−2,1) é 1raiz26(1,-4,3).

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