O capitão Ralph tem problemas, ficou perto de uma explosão e sua nave contem mercúrio. A temperatura na superfície da nave quando está no ponto
é de
, onde
se medem em metros. No momento da explosão ele se encontra no ponto
.
Em qual direção deve se-mover para que a temperatura baixe o mais rapidamente possível?
Em qual direção deve se-mover para que a temperatura baixe o mais rapidamente possível?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar em qual direção o capitão Ralph deve se mover em torno do ponto (1,−2,1) para que a temperatura, dada por T(x,y,z)=e{−x{2}−2y{2}−3z{2}}, decresça mais rapidamente. Esse problema se resolve usando o conceito de gradiente de um campo escalar e a propriedade de que o vetor gradiente aponta na direção de maior crescimento, logo seu oposto aponta na direção de maior decrescimento.
Passo 2
O gradiente de T é o vetor formado pelas derivadas parciais de T. Como T(x,y,z)=e{−x{2}−2y{2}−3z{2}}, aplicamos a regra da cadeia e obtemos:
Agora avaliamos em (1,−2,1). Primeiro, T(1,−2,1)=e{-(1){2}-2(-2){2}-3(1){2}}=e{-1-8-3}=e{-12}. Então:
A direção de maior queda é a direção de -∇T(1,−2,1), ou seja,
Para obter um vetor unitário, dividimos por seu módulo. O módulo de (2,-8,6) é
Resposta
O vetor unitário na direção de maior diminuição da temperatura em (1,−2,1) é
.