Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.1: Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
f(t)=sen(b t+c)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=sen(b,t + c),
ou seja, calcular
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-s t,sen(b,t+c),dt
O conteúdo necessário é a definição da transformada de Laplace, a propriedade de linearidade e as transformadas conhecidas de sin(bt) e cos(bt).

Passo 2

Recordando transformadas básicas:
Lsin(bt)(s) =integral0^inftye^-s tsin(bt),dt =bs^2+b^2, Lcos(bt)(s) =ss^2+b^2,
válidas para Re(s)>0 e b real. Além disso, a transformada é linear:
LA,g(t)+B,h(t) =A,Lg(t)+B,Lh(t)

Passo 3

Usamos a identidade de ângulo somado no seno:
sen(b,t+c) =sin(b,t)cos(c)+cos(b,t)sin(c)
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f(t)=sen(b,t+c) =cos(c),sin(b,t)+sin(c),cos(b,t)

Passo 4

Aplicando a linearidade e as transformadas conhecidas:
Lf(t)(s) =cos(c),Lsin(b,t)(s) +sin(c),Lcos(b,t)(s) =cos(c),bs^2+b^2+sin(c),ss^2+b^2

Resposta

Lsen(b,t+c)(s) =bcos(c)+ssin(c)s^2+b^2, Re(s)>0

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