Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.1: Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
f(t)=t sen b t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=tsen(bt)
O conteúdo principal aqui é usar a definição da transformada de Laplace e, em particular, a propriedade que relaciona multiplicação por t no domínio do tempo com derivação em s.

Passo 2

Primeiro lembramos a transformada de Laplace básica de sen(bt):
Lsen(bt)(s) =integral0^inftye^-stsen(bt),dt =bs^2+b^2

Passo 3

Em seguida aplicamos a propriedade de multiplicação por t, que diz
Lt,g(t)(s) =-ddsl[Lg(t)(s)r]
Aqui g(t)=sen(bt), logo
Ltsen(bt)(s) =-ddsgl[bs^2+b^2gr]

Passo 4

Agora calculamos a derivada em s:
-ddsgl[bs^2+b^2gr] =-bcdotddsl[(s^2+b^2)^-1r] =-bcdotl(-1r)(s^2+b^2)^-2cdot2s =2bs(s^2+b^2)^2

Resposta

Ltsen(bt)(s) =2bs(s^2+b^2)^2

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