Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.1: Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
f(t)=e^a t cos (b t+c)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=e^a tcos(bt+c). Vamos usar a definição
Lf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt
a linearidade da transformada e uma identidade trigonométrica para coseno de soma de ângulos.

Passo 2

Aplicamos a identidade
cos(bt+c)=cos c,cos(bt)-sin c,sin(bt)
de modo que
f(t)=e^a tl(cos c,cos(bt)-sin c,sin(bt)r)

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
Le^a tcos(bt+c) =cos c,Le^a tcos(bt) -sin c,Le^a tsin(bt)

Passo 4

Usamos as fórmulas padrão
Le^a tcos(bt) =s-a(s-a)^2+b^2,
Le^a tsin(bt) =b(s-a)^2+b^2,
e obtemos
Le^a tcos(bt+c) =(s-a)cos c - bsin c(s-a)^2+b^2

Resposta

(s-a)cos c - bsin c(s-a)^2+b^2

Exercícios relacionados