Calcule a integral de linha
integralC x y d s
onde C: x^2+y^2=4,0 <= t <= pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC x,y,ds
onde C é o semicírculo definido por x^2+y^2=4 para 0<= t<=pi.
O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar, e vamos precisar parametrizar C em função de t e calcular o elemento de comprimento ds.

Passo 2

Parametrizamos o semicírculo de raio 2 usando coordenadas polares:
x(t)=2cos t, y(t)=2sin t, 0<= t<=pi

Passo 3

Calculamos ds pela fórmula
ds=raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2;dt
Como tfracdxdt=-2sin t e tfracdydt=2cos t, vem
ds=raiz(-2sin t)^2+(2cos t)^2;dt =raiz4sin^2t+4cos^2t;dt =2,dt

Passo 4

Substituímos x, y e ds na integral:
integralC x,y,ds =integral0^pil(2cos tr)l(2sin tr)l(2,dtr) =integral0^pi8cos tsin t;dt

Passo 5

Para integrar usamos a identidade sin(2t)=2sin tcos t:
8cos tsin t=4cdot2sin tcos t=4sin(2t),
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integral0^pi8cos tsin t;dt =integral0^pi4sin(2t);dt =4l[-tfraccos(2t)2r]0^pi =2l[-cos(2t)r]0^pi
Calculando os limites:
-cos(2pi)-l(-cos(0)r)=-1-(-1)=0,
portanto a integral vale 2cdot0=0.

Resposta

0

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