Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de cada série abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
. Nosso objetivo é descobrir qual é o raio de convergência dessa série e também o intervalo de convergência, ou seja, para quais valores de $ x $ a série realmente “funciona” e dá um resultado finito.
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência, e depois vamos verificar os extremos para encontrar o intervalo completo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série do tipo
, o limite $ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| $ vai nos ajudar a determinar a convergência:
- Se $ L < 1 $, a série converge.
- Se $ L > 1 $, a série diverge.
- Se $ L = 1 $, o teste não consegue dizer nada.
No nosso caso, $ a_n = (-1)^n \frac{x^n}{n+1} $. Vamos calcular $ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| $:
Agora, pegamos o limite quando $ n $ vai para o infinito:
Para convergência, precisamos que $ L < 1 $, ou seja:
Então, o raio de convergência é $ R = 1 $.
Passo 3
Agora que sabemos que $ R = 1 $, o próximo passo é encontrar o intervalo de convergência. Isso significa que precisamos verificar se a série converge ou diverge nos extremos do intervalo $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
- Para $ x = 1 $:
A série fica:
Isso é uma série alternada. Vamos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos decrescem em valor absoluto e tendem a zero, a série converge.
Aqui, $ b_n = \frac{1}{n+1} $, que decresce e tende a zero. Portanto, a série converge quando $ x = 1 $.
- Para $ x = -1 $:
A série fica:
Isso se simplifica para a série harmônica deslocada:
Sabemos que a série harmônica diverge. Portanto, a série não converge quando $ x = -1 $.
Resposta
O raio de convergência da série é $ R = 1 $ e o intervalo de convergência é $ -1 < x \leq 1 $.