Uma cápsula espacial aproxima-se da Terra com dois defeitos: nos seus circuitos elétricos e no sistema de foguetes propulsores. 0 comandante considera que, até o momento de reingresso na atmosfera, existe
de probabilidade de se reparar os circuitos elétricos e
de se reparar o sistema de foguetes. Os reparos se processam independentemente. Por outro lado, os especialistas em Terra consideram que as probabilidades de êxito no retorno são as seguintes:
-
, com os circuitos elétricos e o sistema de foguetes reparados;
-
, só com o sistema de foguetes reparado;
-
, só com os circuitos elétricos reparados;
-
, com os circuitos e os foguetes defeituosos.
a) Com base nas considerações acima, qual a probabilidade de êxito no retorno?
b) Se o retorno se processar com êxito, qual a probabilidade de que se tenha realizado com ambos os sistemas não reparados?
a) Com base nas considerações acima, qual a probabilidade de êxito no retorno?
b) Se o retorno se processar com êxito, qual a probabilidade de que se tenha realizado com ambos os sistemas não reparados?
Passo 1
O enunciado descreve dois eventos de reparo independentes antes do reingresso na atmosfera: reparo dos circuitos elétricos e dos foguetes. Denotamos por
o evento “circuitos elétricos reparados” e por
o evento “foguetes reparados”. Temos
e
. Além disso, são dadas as probabilidades de êxito no retorno condicionadas a cada combinação de reparos. Para (a) usaremos a lei da probabilidade total; para (b) aplicaremos o teorema de Bayes.
Passo 2
Como
e
são independentes, calculamos as probabilidades de cada estado conjunto:
Passo 3
Aplicando a lei da probabilidade total para o evento
“êxito no retorno”:
Substituindo os valores:
Passo 4
Para calcular a probabilidade de que ambos os sistemas não tenham sido reparados dado êxito, aplicamos Bayes:
Resposta
a)
b) aproximadamente
b) aproximadamente