Uma cápsula espacial aproxima-se da Terra com dois defeitos: nos seus circuitos elétricos e no sistema de foguetes propulsores. 0 comandante considera que, até o momento de reingresso na atmosfera, existe 20 % de probabilidade de se reparar os circuitos elétricos e 50 % de se reparar o sistema de foguetes. Os reparos se processam independentemente. Por outro lado, os especialistas em Terra consideram que as probabilidades de êxito no retorno são as seguintes:
  • 90 %, com os circuitos elétricos e o sistema de foguetes reparados;
  • 80 %, só com o sistema de foguetes reparado;
  • 60 %, só com os circuitos elétricos reparados;
  • 40 %, com os circuitos e os foguetes defeituosos.
    a) Com base nas considerações acima, qual a probabilidade de êxito no retorno?
    b) Se o retorno se processar com êxito, qual a probabilidade de que se tenha realizado com ambos os sistemas não reparados?

Passo 1

O enunciado descreve dois eventos de reparo independentes antes do reingresso na atmosfera: reparo dos circuitos elétricos e dos foguetes. Denotamos por A o evento “circuitos elétricos reparados” e por B o evento “foguetes reparados”. Temos P(A)=0,2 e P(B)=0,5. Além disso, são dadas as probabilidades de êxito no retorno condicionadas a cada combinação de reparos. Para (a) usaremos a lei da probabilidade total; para (b) aplicaremos o teorema de Bayes.

Passo 2

Como A e B são independentes, calculamos as probabilidades de cada estado conjunto:
P(Acap B)=P(A),P(B)=0,2cdot0,5=0,1,
P(A^ccap B)=0,8cdot0,5=0,4,
P(Acap B^c)=0,2cdot0,5=0,1,
P(A^ccap B^c)=0,8cdot0,5=0,4

Passo 3

Aplicando a lei da probabilidade total para o evento E =“êxito no retorno”:
P(E)=P(Acap B)cdot0,9 ;+; P(A^ccap B)cdot0,8 ;+; P(Acap B^c)cdot0,6 ;+; P(A^ccap B^c)cdot0,4
Substituindo os valores:
P(E)=0,1cdot0,9 + 0,4cdot0,8 + 0,1cdot0,6 + 0,4cdot0,4 =0,09 +0,32+0,06+0,16=0,63

Passo 4

Para calcular a probabilidade de que ambos os sistemas não tenham sido reparados dado êxito, aplicamos Bayes:
P(A^ccap B^cmid E) =P(A^ccap B^c),P(Emid A^ccap B^c)P(E) =0,4cdot0,40,63 approx0,254

Resposta

a) 0,63
b) aproximadamente 0,254

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