Um jogo consiste em lançar n moedas, sendo n<o u=a 4. Se se obtém mais caras que coroas, vence-se o jogo. 0 número de moedas a lançar é obtido da seguinte forma: lança-se um dado e considera-se n igual ao ponto do dado. Se o ponto obtido for 5 ou 6, joga-se novamente o dado, tantas vezes quanto necessário. Calcule:
a) a probabilidade do dado ser lançado mais de duas vezes para a determinação de n;
b) a probabilidade de se ganhar esse jogo.

Passo 1

O enunciado define a situação em duas etapas:
  1. Determinar nin1,2,3,4 lançando um dado até sair um ponto entre 1 e 4 (se sair 5 ou 6, repete).
  2. Lançar n moedas e vencer se o número de caras for maior que o de coroas.
    Precisamos calcular:
    a) a probabilidade de precisar de mais de dois lançamentos do dado para definir n;
    b) a probabilidade total de ganhar o jogo.
    Vamos usar distribuição geométrica para o dado e binomial para as moedas.

Passo 2

Para (a), cada lançamento do dado tem “sucesso” (sair 1–4) com probabilidade
p=tfrac46=tfrac23,
e “falha” (5 ou 6) com probabilidade
q=1-p=tfrac13
Para lançar mais de duas vezes, falhamos nas duas primeiras tentativas, logo
P(mais de 2 lanç)=q^2=l(tfrac13r)^2=tfrac19 ç

Passo 3

Para (b), usamos a lei total. Primeiro achamos a distribuição de n. Como o processo é “rolar até sair 1–4” e, dado sair 1–4, cada face de 1 a 4 é igualmente provável, temos
P(n=k)=14, k=1,2,3,4

Passo 4

Dado n=k, a probabilidade de vitória é
P(vitóriamid n=k) =sumh>k/2binomkhl(tfrac12r)^k ó
Calculando caso a caso:
Para k=1: ;P=tfrac12
Para k=2: ;P=P(H=2)=binom22(1/2)^2=tfrac14
Para k=3: ;P=P(H>=2)=(binom32+binom33)(1/2)^3=tfrac3+18=tfrac12
Para k=4: ;P=P(H>=3)=(binom43+binom44)(1/2)^4=tfrac4+116=tfrac516

Passo 5

Aplicando probabilidade total:
P(vitória) =sumk=1^4P(n=k),P(vitóriamid n=k) =tfrac14l(tfrac12+tfrac14+tfrac12+tfrac516r) =tfrac2564 óó

Resposta

a) tfrac19
b) tfrac2564

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