Um jogo consiste em lançar
moedas, sendo
. Se se obtém mais caras que coroas, vence-se o jogo. 0 número de moedas a lançar é obtido da seguinte forma: lança-se um dado e considera-se
igual ao ponto do dado. Se o ponto obtido for 5 ou 6, joga-se novamente o dado, tantas vezes quanto necessário. Calcule:
a) a probabilidade do dado ser lançado mais de duas vezes para a determinação de n;
b) a probabilidade de se ganhar esse jogo.
a) a probabilidade do dado ser lançado mais de duas vezes para a determinação de n;
b) a probabilidade de se ganhar esse jogo.
Passo 1
O enunciado define a situação em duas etapas:
- Determinar
lançando um dado até sair um ponto entre 1 e 4 (se sair 5 ou 6, repete). - Lançar
moedas e vencer se o número de caras for maior que o de coroas.
Precisamos calcular:
a) a probabilidade de precisar de mais de dois lançamentos do dado para definir;
b) a probabilidade total de ganhar o jogo.
Vamos usar distribuição geométrica para o dado e binomial para as moedas.
Passo 2
Para (a), cada lançamento do dado tem “sucesso” (sair 1–4) com probabilidade
e “falha” (5 ou 6) com probabilidade
Para lançar mais de duas vezes, falhamos nas duas primeiras tentativas, logo
Passo 3
Para (b), usamos a lei total. Primeiro achamos a distribuição de
. Como o processo é “rolar até sair 1–4” e, dado sair 1–4, cada face de 1 a 4 é igualmente provável, temos
Passo 4
Dado
, a probabilidade de vitória é
Calculando caso a caso:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para
Para
Para
Para
Passo 5
Aplicando probabilidade total:
Resposta
a)
b)
b)