A urna I contém 3 fichas vermelhas e 2 fichas azuis. A urna II contém 2 fichas vermelhas e 8 fichas azuis. Joga-se um dado “honesto”. Se o dado der “1” ou “6”, extrai-se uma ficha da urna II; caso contrário, extrai-se uma ficha da urna I. Pergunta-se:
a) a probabilidade de sortear-se uma ficha vermelha;
b) a probabilidade de, repetindo-se 3 vezes o experimento, as 3 fichas sorteadas tenham vindo da urna 2;
c) a probabilidade de, repetindo-se 2 vezes o experimento, as 2 fichas sorteadas serem azuis;
d) no caso de não se saber o resultado do lançamento do dado, mas sabendo-se que a ficha é vermelha, qual a probabilidade de que ela tenha vindo da urna I.

Passo 1

O enunciado descreve um experimento misto envolvendo um dado honesto e duas urnas. Se o dado der “1” ou “6” (probabilidade tfrac26=tfrac13), extraímos da urna II; caso contrário (probabilidade tfrac46=tfrac23), extraímos da urna I. Na urna I temos 3 vermelhas e 2 azuis, logo
P(U1)=tfrac23, P(vermelhamid U1)=tfrac35, P(azulmid U1)=tfrac25
Na urna II temos 2 vermelhas e 8 azuis, logo
P(U2)=tfrac13, P(vermelhamid U2)=tfrac15, P(azulmid U2)=tfrac45
Para resolver as alíneas usaremos a regra da probabilidade total, a independência entre ensaios repetidos e o teorema de Bayes.

Passo 2

(a) Para achar a probabilidade de sortear uma ficha vermelha aplicamos a regra da probabilidade total:
P(vermelha) = P(U1),P(vermelhamid U1) + P(U2),P(vermelhamid U2) = 23cdot35 + 13cdot15 = 615 + 115 = 715

Passo 3

(b) Ao repetir 3 vezes o experimento, a probabilidade de as três extrações terem vindo da urna II é produto das probabilidades independentes de escolher a urna II em cada tiro:
P(todas de U2) = l(P(U2)r)^3 = l(tfrac13r)^3 = 127

Passo 4

(c) Primeiro calculamos a probabilidade de sair azul numa extração usando a probabilidade total:
P(azul) = 23cdot25 + 13cdot45 = 415 + 415 = 815
Como os ensaios são independentes, para duas extrações azuis:
P(duas azuis) = l(P(azul)r)^2 = l(tfrac815r)^2 = 64225

Passo 5

(d) Sabendo que a ficha sorteada é vermelha, queremos
P(U1 mid vermelha) = P(U1),P(vermelhamid U1)P(vermelha) = tfrac23cdottfrac35tfrac715 = tfrac615tfrac715 = 67

Resposta

(a) tfrac715
(b) tfrac127
(c) tfrac64225
(d) tfrac67

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