Um fabricante adquire certo tipo de componente de um fornecedor. Segundo este fornecedor, a proporção de componentes defeituosos é de 2 %. O fabricante adquire 10 lotes por mês e em cada lote são selecionados 15 componentes para inspeção.
Qual a probabilidade de que seja encontrados 3 lotes com mais de um componente defeituoso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre probabilidade de encontrar componentes defeituosos em lotes. A gente vai usar conceitos de probabilidade binomial para resolver isso. Precisamos calcular a chance de, em 10 lotes, exatamente 3 deles terem mais de um componente defeituoso. Para isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição binomial e aplicar algumas fórmulas básicas de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar um único lote. Cada lote tem 15 componentes e a chance de um componente ser defeituoso é de 2%. Queremos saber a probabilidade de que mais de um componente seja defeituoso em um lote. Para isso, usamos a distribuição binomial onde:
  • n = 15 (número de componentes por lote)
  • p = 0,02 (probabilidade de um componente ser defeituoso)
A probabilidade de ter mais de um defeituoso é:
P(X > 1) = 1 - P(X <= 1)
Onde P(X <= 1) é a soma das probabilidades de ter 0 ou 1 defeituoso.

Passo 3

Vamos calcular P(X = 0) e P(X = 1) usando a fórmula da probabilidade binomial:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Para k = 0:
P(X = 0) = binom150 (0,02)^0 (0,98)^15 = 1 times 1 times (0,98)^15 approx 0,740
Para k = 1:
P(X = 1) = binom151 (0,02)^1 (0,98)^14 = 15 times 0,02 times (0,98)^14 approx 0,227

Passo 4

Agora, somamos as probabilidades de ter 0 ou 1 defeituoso:
P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1) approx 0,740 + 0,227 = 0,967
Então, a probabilidade de ter mais de um defeituoso é:
P(X > 1) = 1 - 0,967 = 0,033

Passo 5

Agora que temos a probabilidade de um lote ter mais de um defeituoso ( p = 0,033), vamos calcular a probabilidade de que exatamente 3 dos 10 lotes tenham essa característica. Usamos novamente a distribuição binomial, agora com:
  • n = 10 (número de lotes)
  • k = 3 (número de lotes com mais de um defeituoso)
  • p = 0,033
Aplicando a fórmula:
P(k = 3) = binom103 (0,033)^3 (1-0,033)^7
Calculando:
binom103 = 120
P(k = 3) = 120 times (0,033)^3 times (0,967)^7 approx 120 times 0,000035937 times 0,808 approx 0,0035

Resposta

A probabilidade de encontrar exatamente 3 lotes com mais de um componente defeituoso é aproximadamente 0,35%.

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