Mostre:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade
Informações dadas implicitamente: as funções trigonométricas usuais
,
e
(tan) e a variável
. A tarefa é verificar se essa igualdade é verdadeira para todo
ou não.
Passo 2
Recordando identidades trigonométricas básicas que vamos usar (explicando cada uma com calma):
- Identidade pitagórica:
. Isso vem da relação no círculo unitário: para um ângulo , as coordenadas são , cuja soma dos quadrados é . - Definição de tangente:
sempre que .
Essas identidades são fórmulas padrão que permitem trocar entre, e .
Passo 3
Simplificar o numerador usando a identidade pitagórica:
Explanação: isto é só rearranjar
para isolar
.
Passo 4
Simplificar o denominador usando a definição de
:
Agora somar as frações:
Pelo passo 2 sabemos que
. Logo
Observação: esta é outra identidade comum, normalmente escrita como
, onde
.
Passo 5
Substituir as simplificações do numerador e do denominador na expressão original:
Divisão por fração transforma-se em multiplicação:
Portanto a simplificação correta do lado esquerdo é
Passo 6
Comparar com o que o enunciado afirma. O enunciado dizia que a expressão valeria
, mas a simplificação mostra que ela vale
. Para confirmar que a igualdade proposta é falsa em geral, basta um contraexemplo numérico simples. Tomemos
:
-
-
- Então a simplificação dá
Logo o lado esquerdo valeenquanto o lado direito proposto vale : não são iguais.
Passo 7
Observação final amigável: a igualdade original só ocorreria em casos especiais onde
ou
(por exemplo
), pois aí
. Mas para ângulos gerais a igualdade não vale.
Resposta
A igualdade é falsa. Na verdade
que não é igual a
em geral (por exemplo, para
as duas expressões dão
e
, respectivamente).