Mostre: \left(1-\cos ^{2}(\theta)\right) /\left(1+\operatorname{tg}^{2}(\theta)\right)=\operatorname{sen}^{2}(\theta)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
\frac{1-\cos^{2}(\theta)}{1+\operatorname{tg}^{2}(\theta)}=\operatorname{sen}^{2}(\theta).
Informações dadas implicitamente: as funções trigonométricas usuais \operatorname{sen}, \cos e \operatorname{tg} (tan) e a variável \theta. A tarefa é verificar se essa igualdade é verdadeira para todo \theta ou não.

Passo 2

Recordando identidades trigonométricas básicas que vamos usar (explicando cada uma com calma):
  • Identidade pitagórica: \operatorname{sen}^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)=1. Isso vem da relação no círculo unitário: para um ângulo \theta, as coordenadas são (\cos\theta,\operatorname{sen}\theta), cuja soma dos quadrados é 1.
  • Definição de tangente: \operatorname{tg}(\theta)=\dfrac{\operatorname{sen}(\theta)}{\cos(\theta)} sempre que \cos(\theta)\neq0.
    Essas identidades são fórmulas padrão que permitem trocar entre \operatorname{sen}, \cos e \operatorname{tg}.

Passo 3

Simplificar o numerador usando a identidade pitagórica:
1-\cos^{2}(\theta)=\operatorname{sen}^{2}(\theta).
Explanação: isto é só rearranjar \operatorname{sen}^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)=1 para isolar \operatorname{sen}^{2}(\theta).

Passo 4

Simplificar o denominador usando a definição de \operatorname{tg}:
1+\operatorname{tg}^{2}(\theta)=1+\left(\frac{\operatorname{sen}(\theta)}{\cos(\theta)}\right)^{2} =1+\frac{\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}.
Agora somar as frações:
1+\frac{\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}=\frac{\cos^{2}(\theta)+\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}.
Pelo passo 2 sabemos que \cos^{2}(\theta)+\operatorname{sen}^{2}(\theta)=1. Logo
1+\operatorname{tg}^{2}(\theta)=\frac{1}{\cos^{2}(\theta)}.
Observação: esta é outra identidade comum, normalmente escrita como 1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta, onde \operatorname{sec}\theta=1/\cos\theta.

Passo 5

Substituir as simplificações do numerador e do denominador na expressão original:
\frac{1-\cos^{2}(\theta)}{1+\operatorname{tg}^{2}(\theta)} =\frac{\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{\dfrac{1}{\cos^{2}(\theta)}}.
Divisão por fração transforma-se em multiplicação:
\frac{\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{\dfrac{1}{\cos^{2}(\theta)}} =\operatorname{sen}^{2}(\theta)\cdot\cos^{2}(\theta).
Portanto a simplificação correta do lado esquerdo é
\frac{1-\cos^{2}(\theta)}{1+\operatorname{tg}^{2}(\theta)}=\operatorname{sen}^{2}(\theta)\cos^{2}(\theta).

Passo 6

Comparar com o que o enunciado afirma. O enunciado dizia que a expressão valeria \operatorname{sen}^{2}(\theta), mas a simplificação mostra que ela vale \operatorname{sen}^{2}(\theta)\cos^{2}(\theta). Para confirmar que a igualdade proposta é falsa em geral, basta um contraexemplo numérico simples. Tomemos \theta=\dfrac{\pi}{4}:
  • \operatorname{sen}^{2}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{2}.
  • \cos^{2}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2}.
  • Então a simplificação dá \operatorname{sen}^{2}\cos^{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}.
    Logo o lado esquerdo vale \dfrac{1}{4} enquanto o lado direito proposto \operatorname{sen}^{2}\theta vale \dfrac{1}{2}: não são iguais.

Passo 7

Observação final amigável: a igualdade original só ocorreria em casos especiais onde \cos^{2}(\theta)=1 ou \operatorname{sen}^{2}(\theta)=0 (por exemplo \theta=0), pois aí \operatorname{sen}^{2}\cos^{2}=\operatorname{sen}^{2}. Mas para ângulos gerais a igualdade não vale.

Resposta

A igualdade é falsa. Na verdade
\frac{1-\cos^{2}(\theta)}{1+\operatorname{tg}^{2}(\theta)}=\operatorname{sen}^{2}(\theta)\cos^{2}(\theta),
que não é igual a \operatorname{sen}^{2}(\theta) em geral (por exemplo, para \theta=\tfrac{\pi}{4} as duas expressões dão \tfrac{1}{4} e \tfrac{1}{2}, respectivamente).

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