Cateto adjacente =12 \mathrm{~cm} e hipotenusa =13 \mathrm{~cm}. Calcule \operatorname{sen}(\theta), \cos (\theta) e \operatorname{tg}(\theta).

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo com as seguintes medidas:
  • cateto adjacente =12\\ \mathrm{cm},
  • hipotenusa =13\\ \mathrm{cm}.
O que o exercício pede:
  • calcular \operatorname{sen}(\theta),
  • calcular \cos(\theta),
  • calcular \operatorname{tg}(\theta).
Observação importante (para fixar o que é dado): a palavra “cateto adjacente” indica o cateto que está ao lado do ângulo \theta (não o oposto). Vou chamar:
a=12\quad\text{(cateto adjacente)},\qquad h=13\quad\text{(hipotenusa)},\qquad o\quad\text{(cateto oposto, desconhecido)}.

Passo 2

Para encontrar o cateto oposto o usamos o Teorema de Pitágoras. Vou explicar esse teorema de um jeito simples: num triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Em símbolos:
a^{2}+o^{2}=h^{2}.
Aqui a é o cateto adjacente, o o oposto e h a hipotenusa. Substituindo os números que temos:
12^{2}+o^{2}=13^{2}.
Calcule os quadrados:
144+o^{2}=169.
Isolando o^{2}:
o^{2}=169-144=25.
Tirando raiz quadrada (escolhendo a raiz positiva, pois comprimento é positivo):
o=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{cm}.
Portanto, o cateto oposto vale 5\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Agora uma pequena aula rápida sobre definições (para você usar na prova sem erro):
  • O seno do ângulo \theta é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:
\operatorname{sen}(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{o}{h}.
  • O cosseno do ângulo \theta é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:
\cos(\theta)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{a}{h}.
  • A tangente do ângulo \theta é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente (ou seja, \operatorname{tg}=\operatorname{sen}/\cos):
\operatorname{tg}(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{o}{a}.
Essas fórmulas são diretas e muito úteis na prova: memorize que seno = oposto/hipotenusa, cosseno = adjacente/hipotenusa, tangente = oposto/adjacente.

Passo 4

Substituindo os comprimentos que encontramos ( o=5, a=12, h=13) nas definições:
Cálculo do seno:
\operatorname{sen}(\theta)=\frac{o}{h}=\frac{5}{13}.
Cálculo do cosseno:
\cos(\theta)=\frac{a}{h}=\frac{12}{13}.
Cálculo da tangente:
\operatorname{tg}(\theta)=\frac{o}{a}=\frac{5}{12}.
Se quiser aproximações decimais (úteis em alguns contextos):
\frac{5}{13}\approx0{,}3846,\qquad \frac{12}{13}\approx0{,}9231,\qquad \frac{5}{12}\approx0{,}4167.

Passo 5

Verificação rápida usando a identidade \operatorname{tg}(\theta)=\dfrac{\operatorname{sen}(\theta)}{\cos(\theta)}:
\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{12},
que coincide com o valor encontrado para \operatorname{tg}(\theta). Tudo consistente.

Resposta

\operatorname{sen}(\theta)=\dfrac{5}{13}
\cos(\theta)=\dfrac{12}{13}
\operatorname{tg}(\theta)=\dfrac{5}{12}

Exercícios relacionados