O que caracteriza uma descontinuidade removível? Como poderíamos “corrigir” a função para torná-la contínua nesse ponto?

Passo 1

O que o enunciado pergunta:
  • “O que caracteriza uma descontinuidade removível?”
  • “Como podemos ‘corrigir’ a função para torná-la contínua nesse ponto?”
Informações disponíveis:
  • Não foi dado um exemplo numérico; a resposta deve ser geral e mostrar como identificar e consertar esse tipo de descontinuidade.

Passo 2

Lembrete do que significa ser contínuo num ponto. Seja \,f, uma função e a um ponto do domínio ou candidato a ponto do domínio. Dizemos que f é contínua em a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Explicando em palavras: o valor que f(x) se aproxima quando x se aproxima de a (o limite) deve existir e ser igual ao valor que a função tem em a.

Passo 3

Definição de descontinuidade removível (forma prática e formal). Dizemos que f tem uma descontinuidade removível em a quando ocorre o seguinte:
  • Existe um número real L tal que \lim_{x\to a} f(x)=L(ou seja, o limite existe e é finito),
  • mas ou f(a) não está definido, ou está definido e f(a)\neq L.
Em palavras: a “curva” se aproxima de um único ponto (a,L), porém a função no ponto não corresponde a esse limite (ou não existe). Por isso a descontinuidade é chamada de “removível”: basta ajustar o valor no ponto para fazê-la sumir.

Passo 4

Como “corrigir” a função para torná-la contínua em a\). Se \(\lim_{x\to a} f(x)=L\) existe e é finito, então a correção é simplesmente definir uma nova função \(g\) por \[g(x)=\begin{cases} f(x), & x\neq a,\\[4pt] L, & x=a. \end{cases}
A razão: agora \lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} f(x)=L\] e \(g(a)=L, logo pela definição g é contínua em a.]

Passo 5

Exemplo 1 (fácil de ver em prova). Seja
f(x)=\frac{x^2-1}{x-1},\quad x\neq1,
e suponha que f(1) não esteja definido (ou não foi dado). Para x\neq1 fatoramos:
\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.
Portanto
\lim_{x\to1} f(x)=\lim_{x\to1} (x+1)=2.
Como f(1) não existe, há uma descontinuidade removível em x=1. A correção é definir g(1)=2 e g(x)=f(x) para x\neq1. Assim g fica contínua em 1.

Passo 6

Exemplo 2 (valor errado no ponto). Seja f\) definida por \[f(x)=\begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1}, & x\neq1,\\[4pt] 3, & x=1. \end{cases}
Já sabemos que \lim_{x\to1} \frac{x^2-1}{x-1}=2\]. Aqui o limite existe e vale \(2, mas f(1)=3\neq2. Portanto há descontinuidade removível em 1. A correção é redefinir f(1)=2.]

Passo 7

Como identificar rapidamente numa prova (checklist prático):
  1. Calcule os limites laterais \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x).
  2. Se os dois existirem e forem iguais a um mesmo L, então \lim_{x\to a} f(x)=L.
  3. Verifique f(a):
    • Se f(a) não existir ou f(a)\neq L, é descontinuidade removível.
    • Se f(a)=L, então f já é contínua em a.
  4. Se as laterais forem diferentes ou o limite for infinito/não existir, então não é removível (é salto ou essencial) — redefinir f(a) não resolve.
Dicas de cálculo do limite: tente simplificar algebraicamente (fatorar, cancelar), racionalizar se houver raízes, usar identidades trigonométricas, ou L’Hôpital quando for do tipo \tfrac{0}{0} e as hipóteses permitirem. Prefira técnicas algébricas simples em prova para economizar tempo.

Passo 8

Por que a correção realmente funciona (ideia simples de justificativa). Se \lim_{x\to a} f(x)=L, então por definição para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que |f(x)-L|<\varepsilon sempre que 0<|x-a|<\delta. Ao definir g(a)=L e manter g(x)=f(x) para x\neq a, a condição de continuidade em a fica satisfeita: |g(x)-g(a)|=|f(x)-L|<\varepsilon para 0<|x-a|<\delta. Logo g é contínua em a.

Passo 9

Contraste rápido com outros tipos de descontinuidade:
  • Descontinuidade por salto: \lim_{x\to a^-} f(x)\neq\lim_{x\to a^+} f(x). Não é removível — redefinir f(a) não conseguirá fazer os dois lados se encontrarem.
  • Descontinuidade essencial/infinita: o limite é infinito ou não existe de forma oscilatória (por ex. \sin(1/x) em 0). Também não é corrigível por redefinir um único valor.

Passo 10

Resumo prático final: se, ao aproximar-se de a, os valores de f(x) se aproximam de um único número finito L, mas a função no ponto não corresponde a L (ou está indefinida), então é uma descontinuidade removível e basta definir o valor no ponto igual a L para restaurar a continuidade.

Resposta

Uma descontinuidade removível ocorre quando \lim_{x\to a} f(x)=L existe e é finito, mas f(a) não está definido ou f(a)\neq L.
Para “corrigir” basta definir g(x)=f(x) para x\neq a e g(a)=\lim_{x\to a} f(x)=L; assim g fica contínua em a.

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