O que caracteriza uma descontinuidade removível? Como poderíamos “corrigir” a função para torná-la contínua nesse ponto?
Passo 1
O que o enunciado pergunta:
- “O que caracteriza uma descontinuidade removível?”
- “Como podemos ‘corrigir’ a função para torná-la contínua nesse ponto?”
Informações disponíveis:
- Não foi dado um exemplo numérico; a resposta deve ser geral e mostrar como identificar e consertar esse tipo de descontinuidade.
Passo 2
Lembrete do que significa ser contínuo num ponto. Seja
, uma função e
um ponto do domínio ou candidato a ponto do domínio. Dizemos que
é contínua em
se e somente se
Explicando em palavras: o valor que
se aproxima quando
se aproxima de
(o limite) deve existir e ser igual ao valor que a função tem em
.
Passo 3
Definição de descontinuidade removível (forma prática e formal). Dizemos que
tem uma descontinuidade removível em
quando ocorre o seguinte:
- Existe um número real
tal que (ou seja, o limite existe e é finito), - mas ou
não está definido, ou está definido e .
Em palavras: a “curva” se aproxima de um único ponto
, porém a função no ponto não corresponde a esse limite (ou não existe). Por isso a descontinuidade é chamada de “removível”: basta ajustar o valor no ponto para fazê-la sumir.
Passo 4
Como “corrigir” a função para torná-la contínua em
A razão: agora
, logo pela definição
é contínua em
.]
Passo 5
Exemplo 1 (fácil de ver em prova). Seja
e suponha que
não esteja definido (ou não foi dado). Para
fatoramos:
Portanto
Como
não existe, há uma descontinuidade removível em
. A correção é definir
e
para
. Assim
fica contínua em
.
Passo 6
Exemplo 2 (valor errado no ponto). Seja
Já sabemos que
, mas
. Portanto há descontinuidade removível em
. A correção é redefinir
.]
Passo 7
Como identificar rapidamente numa prova (checklist prático):
- Calcule os limites laterais
e . - Se os dois existirem e forem iguais a um mesmo
, então . - Verifique
: - Se
não existir ou , é descontinuidade removível. - Se
, então já é contínua em .
- Se
- Se as laterais forem diferentes ou o limite for infinito/não existir, então não é removível (é salto ou essencial) — redefinir
não resolve.
Dicas de cálculo do limite: tente simplificar algebraicamente (fatorar, cancelar), racionalizar se houver raízes, usar identidades trigonométricas, ou L’Hôpital quando for do tipo
e as hipóteses permitirem. Prefira técnicas algébricas simples em prova para economizar tempo.
Passo 8
Por que a correção realmente funciona (ideia simples de justificativa). Se
, então por definição para todo
existe
tal que
sempre que
. Ao definir
e manter
para
, a condição de continuidade em
fica satisfeita:
para
. Logo
é contínua em
.
Passo 9
Contraste rápido com outros tipos de descontinuidade:
- Descontinuidade por salto:
. Não é removível — redefinir não conseguirá fazer os dois lados se encontrarem. - Descontinuidade essencial/infinita: o limite é infinito ou não existe de forma oscilatória (por ex.
em ). Também não é corrigível por redefinir um único valor.
Passo 10
Resumo prático final: se, ao aproximar-se de
, os valores de
se aproximam de um único número finito
, mas a função no ponto não corresponde a
(ou está indefinida), então é uma descontinuidade removível e basta definir o valor no ponto igual a
para restaurar a continuidade.
Resposta
Uma descontinuidade removível ocorre quando
existe e é finito, mas
não está definido ou
.
Para “corrigir” basta definir para
e
; assim
fica contínua em
.
Para “corrigir” basta definir