Diferencie claramente:
assíntota horizontal.
Forneça um exemplo para cada item.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) explicar claramente o que é uma assíntota horizontal; (2) dar exemplos que ilustrem os diferentes casos relevantes. Informações dadas: apenas a solicitação para diferenciar/definir e exemplificar. Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Definição formal e intuitiva.
Uma reta horizontal é dada por y=L, onde L é um número real. Dizemos que a reta y=L é uma assíntota horizontal de uma função f quando f(x) se aproxima de L quando x tende ao infinito ou ao menos a um dos infinitos. Formalmente isso significa que pelo menos uma das condições abaixo é verdadeira:
\lim_{x\to\infty} f(x)=L \qquad\text{ou}\qquad \lim_{x\to -\infty} f(x)=L.
Explicando cada símbolo: f(x) é o valor da função para a entrada x; x\to\infty significa que x cresce sem limite; x\to -\infty significa que x vai a valores negativos muito grandes. Se a primeira igualdade vale, diz-se que y=L é assíntota horizontal à direita; se a segunda vale, é assíntota horizontal à esquerda. Se ambas valem (com o mesmo L), então y=L é assíntota horizontal bilateral.

Passo 3

Como testar na prática (técnica que normalmente se usa na prova).
  1. Calcular \lim_{x\to\infty} f(x). Se o limite existe e é finito igual a L, então y=L é assíntota horizontal para x\to\infty.
  2. Calcular \lim_{x\to -\infty} f(x). Se esse limite existe e é finito igual a M, então y=M é assíntota horizontal para x\to -\infty.
    Dica prática para funções racionais: se f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)} com P,Q polinômios e \deg P e \deg Q seus graus,
  • se \deg P < \deg Q então \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=0, logo y=0 é assíntota horizontal bilateral;
  • se \deg P = \deg Q então \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\dfrac{\text{coef. líder de }P}{\text{coef. líder de }Q}íí, logo existe uma assíntota horizontal igual a essa razão;
  • se \deg P > \deg Q normalmente não há assíntota horizontal (pode haver assíntota oblíqua ou nenhum limite finito).

Passo 4

Exemplo 1 — assíntota horizontal y=0 (grau do numerador menor que o do denominador).
Considere f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}. Calcular os limites:
\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0, \qquad \lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0.
Explicação: quando |x| cresce, x^{2} cresce muito e o quociente vai para zero. Como ambos os limites (esquerda e direita) valem 0, a reta y=0 é assíntota horizontal bilateral de f.

Passo 5

Exemplo 2 — assíntota horizontal diferente de zero (graus iguais).
Considere f(x)=\dfrac{3x^{2}+1}{2x^{2}-5}. Como os graus do numerador e denominador são iguais, para x\to\pm\infty o termo dominante é o coeficiente líder:
\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^{2}+1}{2x^{2}-5}=\dfrac{3}{2}, \qquad \lim_{x\to -\infty}\dfrac{3x^{2}+1}{2x^{2}-5}=\dfrac{3}{2}.
Portanto y=\dfrac{3}{2} é assíntota horizontal bilateral. Técnica usada: dividir numerador e denominador por x^{2} (o maior grau) e avaliar os termos que vão a zero.

Passo 6

Exemplo 3 — assíntotas horizontais distintas à direita e à esquerda.
Considere f(x)=\arctan(x). É sabido e pode ser mostrado que
\lim_{x\to\infty}\arctan(x)=\dfrac{\pi}{2}, \qquad \lim_{x\to -\infty}\arctan(x)=-\dfrac{\pi}{2}.
Logo y=\dfrac{\pi}{2} é assíntota horizontal à direita e y=-\dfrac{\pi}{2} é assíntota horizontal à esquerda. Esse exemplo mostra que as assíntotas horizontais podem ser diferentes nos dois sentidos.

Passo 7

Exemplo 4 — tende a uma constante mas cruza a assíntota infinitas vezes.
Considere f(x)=\dfrac{\sin x}{x}. Tem-se
\lim_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0, \qquad \lim_{x\to -\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0.
Logo y=0 é assíntota horizontal bilateral. Observação importante: isso não impede que a curva cruze a reta y=0 muitas vezes (aqui cruza infinitas vezes), o que não invalida o fato de ser assíntota — o que importa é o comportamento limite quando |x| cresce.

Passo 8

Casos sem assíntota horizontal e dicas rápidas.
  • Funções polinomiais com grau \ge 1 crescente sem contrabalanço (por exemplo f(x)=x^{2}) não têm assíntota horizontal porque \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\infty.
  • Se \lim_{x\to\infty} f(x) ou \lim_{x\to -\infty} f(x) não existir (oscila sem convergir), então não há assíntota naquele sentido.
    Dica de prova/exame: sempre calcule explicitamente os limites para x\to\infty e x\to -\infty; use dividir por maior potência, regra de L’Hôpital quando for 0/0 ou \infty/\infty, ou conhecimento de limites padrões (como \arctan, exponenciais, etc.).

Resposta

Assíntota horizontal: é uma reta y=L tal que \lim_{x\to\infty} f(x)=L ou \lim_{x\to -\infty} f(x)=L (assíntota à direita, à esquerda, ou bilateral se ambos os limites iguais a L existem).
Exemplos:
f(x)=\dfrac{1}{x^{2}} \Rightarrow \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0, assíntota y=0.
f(x)=\dfrac{3x^{2}+1}{2x^{2}-5} \Rightarrow \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\tfrac{3}{2}, assíntota y=\tfrac{3}{2}.
f(x)=\arctan(x) \Rightarrow \lim_{x\to\infty}f(x)=\tfrac{\pi}{2}, \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\tfrac{\pi}{2}, assíntotas y=\tfrac{\pi}{2} (direita) e y=-\tfrac{\pi}{2} (esquerda).
f(x)=\dfrac{\sin x}{x} \Rightarrow \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0, assíntota y=0 (embora a função cruze y=0 infinitas vezes).

Exercícios relacionados