Diferencie claramente:
assíntota horizontal.
Forneça um exemplo para cada item.
assíntota horizontal.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) explicar claramente o que é uma assíntota horizontal; (2) dar exemplos que ilustrem os diferentes casos relevantes. Informações dadas: apenas a solicitação para diferenciar/definir e exemplificar. Não há outros dados numéricos.
Passo 2
Definição formal e intuitiva.
Uma reta horizontal é dada por , onde
é um número real. Dizemos que a reta
é uma assíntota horizontal de uma função
quando
se aproxima de
quando
tende ao infinito ou ao menos a um dos infinitos. Formalmente isso significa que pelo menos uma das condições abaixo é verdadeira:
Uma reta horizontal é dada por
Explicando cada símbolo:
é o valor da função para a entrada
;
significa que
cresce sem limite;
significa que
vai a valores negativos muito grandes. Se a primeira igualdade vale, diz-se que
é assíntota horizontal à direita; se a segunda vale, é assíntota horizontal à esquerda. Se ambas valem (com o mesmo
), então
é assíntota horizontal bilateral.
Passo 3
Como testar na prática (técnica que normalmente se usa na prova).
- Calcular
. Se o limite existe e é finito igual a , então é assíntota horizontal para . - Calcular
. Se esse limite existe e é finito igual a , então é assíntota horizontal para .
Dica prática para funções racionais: secom polinômios e e seus graus,
- se
então , logo é assíntota horizontal bilateral; - se
então , logo existe uma assíntota horizontal igual a essa razão; - se
normalmente não há assíntota horizontal (pode haver assíntota oblíqua ou nenhum limite finito).
Passo 4
Exemplo 1 — assíntota horizontal
(grau do numerador menor que o do denominador).
Considere . Calcular os limites:
Considere
Explicação: quando
cresce,
cresce muito e o quociente vai para zero. Como ambos os limites (esquerda e direita) valem
, a reta
é assíntota horizontal bilateral de
.
Passo 5
Exemplo 2 — assíntota horizontal diferente de zero (graus iguais).
Considere . Como os graus do numerador e denominador são iguais, para
o termo dominante é o coeficiente líder:
Considere
Portanto
é assíntota horizontal bilateral. Técnica usada: dividir numerador e denominador por
(o maior grau) e avaliar os termos que vão a zero.
Passo 6
Exemplo 3 — assíntotas horizontais distintas à direita e à esquerda.
Considere . É sabido e pode ser mostrado que
Considere
Logo
é assíntota horizontal à direita e
é assíntota horizontal à esquerda. Esse exemplo mostra que as assíntotas horizontais podem ser diferentes nos dois sentidos.
Passo 7
Exemplo 4 — tende a uma constante mas cruza a assíntota infinitas vezes.
Considere . Tem-se
Considere
Logo
é assíntota horizontal bilateral. Observação importante: isso não impede que a curva cruze a reta
muitas vezes (aqui cruza infinitas vezes), o que não invalida o fato de ser assíntota — o que importa é o comportamento limite quando
cresce.
Passo 8
Casos sem assíntota horizontal e dicas rápidas.
- Funções polinomiais com grau
crescente sem contrabalanço (por exemplo ) não têm assíntota horizontal porque . - Se
ou não existir (oscila sem convergir), então não há assíntota naquele sentido.
Dica de prova/exame: sempre calcule explicitamente os limites parae ; use dividir por maior potência, regra de L’Hôpital quando for 0/0 ou , ou conhecimento de limites padrões (como , exponenciais, etc.).
Resposta
Assíntota horizontal: é uma reta
tal que
ou
(assíntota à direita, à esquerda, ou bilateral se ambos os limites iguais a
existem).
Exemplos:
, assíntota
.