Diferencie claramente:
limite quando a variável tende ao infinito (por exemplo, \lim _{x \rightarrow \infty} f(x) ).
Forneça um exemplo para cada item.

Passo 1

O que o enunciado pede: diferenciar claramente o conceito de limite quando a variável tende a um ponto finito e o conceito de limite quando a variável tende ao infinito, e dar um exemplo para cada caso.
Informações relevantes que temos (implícitas no pedido):
  • Dois tipos de limite para comparar: \lim_{x \to a} f(x) (a é um número finito) e \lim_{x \to \infty} f(x).
  • É preciso explicar de forma didática, sem pular etapas, e dar exemplos que mostrem como calcular e interpretar cada tipo de limite.

Passo 2

Definição intuitiva e formal do limite quando a variável tende a um ponto finito \boldsymbol{\lim_{x \to a} f(x)}.
Intuição (jeito “visual”): dizer que \lim_{x \to a} f(x)=L significa que, quando x se aproxima de a (por ambos os lados, se for um limite simples), os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de L. Importante: o valor f(a) pode existir ou não — o limite depende do comportamento ao redor de a, não do valor em a.
Definição formal (epsilon–delta): dizemos que
\lim_{x\to a} f(x)=L
se, para todo \varepsilon>0 (quão perto queremos ficar de L), existir \delta>0 (quão perto devemos ficar de a) tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, então |f(x)-L|<\varepsilon.
Explicando as variáveis:
  • \varepsilon é um número pequeno dado (a precisão desejada ao redor de L).
  • \delta é a tolerância na variável x que garante essa precisão.
  • A condição 0<|x-a|<\delta significa que olhamos pontos x próximos de a, exceto possivelmente x=a (o 0< evita exigir algo sobre f(a)).
Exemplo (com resolução passo a passo):
Calcular \lim_{x\to 3} 2x.
Cálculo direto: substituir x=3 na função linear dá 2\cdot 3=6. Logo a resposta esperada é 6.
Prova rápida (epsilon–delta) para treinar o conceito: queremos mostrar que \lim_{x\to 3} 2x=6. Dado \varepsilon>0, queremos \delta>0 tal que quando 0<|x-3|<\delta então |2x-6|<\varepsilon. Note que
|2x-6|=2|x-3|.
Se escolhermos \delta=\varepsilon/2, então 0<|x-3|<\delta implica 2|x-3|<2\delta=\varepsilon. Assim a condição é satisfeita e a definição formal está cumprida. Isso confirma o resultado 6.

Passo 3

Definição intuitiva e formal do limite quando a variável tende ao infinito \boldsymbol{\lim_{x \to \infty} f(x)}.
Intuição (jeito “visual”): dizer que \lim_{x\to\infty} f(x)=L significa que, quando x cresce sem limite (vai para valores arbitrariamente grandes), os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de L. Geometricamente, isso corresponde a uma assíntota horizontal y=L.
Definição formal (epsilon–M): dizemos que
\lim_{x\to\infty} f(x)=L
se, para todo \varepsilon>0, existir M (um número real) tal que, sempre que x>M, então |f(x)-L|<\varepsilon.
Explicando as variáveis:
  • \varepsilon continua sendo a precisão desejada ao redor de L.
  • M é um ponto suficientemente grande na reta dos números tal que, para todos os x à direita de M, f(x) está dentro de \varepsilon de L.
  • A diferença crucial aqui é que, em vez de controlar a vizinhança ao redor de um ponto a, estamos controlando a “cauda” da função para x grandes.
Exemplo clássico (com resolução passo a passo):
Calcular \lim_{x\to\infty} \dfrac{1}{x}.
Cálculo e argumento: intuitivamente, conforme x cresce, 1/x fica menor e tende a 0. Para provar formalmente: dado \varepsilon>0, escolha M=1/\varepsilon. Se x>M então
0<\frac{1}{x}<\frac{1}{M}=\varepsilon,
portanto |1/x-0|<\varepsilon. Assim \lim_{x\to\infty} 1/x=0.

Passo 4

Diferenças práticas e dicas para a prova (comparando os dois tipos).
  • Natureza da aproximação:
    • Em \lim_{x\to a} f(x) a aproximação é local: olhamos x próximos de a.
    • Em \lim_{x\to\infty} f(x) a aproximação é global para a “cauda”: olhamos x suficientemente grandes.
  • Formalmente:
    • Para x\to a usa-se \varepsilon- \delta.
    • Para x\to\infty usa-se \varepsilon- M (mesma ideia de \varepsilon, trocando \delta por “a partir de que x”).
  • Interpretação geométrica:
    • \lim_{x\to a} f(x)=L fala sobre comportamento ao redor de x=a.
    • \lim_{x\to\infty} f(x)=L fala sobre horizontalidade do gráfico para x grandes (assíntota horizontal).
  • Cálculo prático sem prova:
    • Para limites em pontos finitos: substituir se a função for contínua; se der forma indeterminada, usar fatoração, racionalização, regra de L’Hôpital (se permitido), etc.
    • Para limites em \infty: para funções racionais comparar graus dos polinômios; dividir numerador e denominador pelo maior poder de x; para funções exponenciais/potências usar crescimento relativo (exponencial cresce mais rápido que polinomial, que cresce mais que logaritmo).
Exemplo prático para limite em \infty com técnica padrão:
Calcular \lim_{x\to\infty} \dfrac{3x^{2}+1}{2x^{2}-5}.
Procedimento: dividir numerador e denominador por x^{2} (maior potência):
\frac{3x^{2}+1}{2x^{2}-5}=\frac{3+\dfrac{1}{x^{2}}}{2-\dfrac{5}{x^{2}}}.
Quando x\to\infty, os termos \dfrac{1}{x^{2}} e \dfrac{5}{x^{2}} tendem a 0. Logo o quociente tende a \dfrac{3+0}{2-0}=\dfrac{3}{2}. Assim
\lim_{x\to\infty} \frac{3x^{2}+1}{2x^{2}-5}=\frac{3}{2}.

Passo 5

Limite “igual a infinito” (divergência) — diferença de sentido
É importante separar dois conceitos frequentemente confundidos:
  • Dizer \lim_{x\to\infty} f(x)=L (com L finito) significa convergência para L na cauda.
  • Dizer \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty significa que f(x) cresce sem limite (diverge). Formalmente, para todo K>0 existe M tal que, se x>M então f(x)>K.
Exemplo (divergente para +\infty):
\lim_{x\to\infty} x = \infty.
Dado K>0, basta escolher M=K para garantir que x>M implique x>K. Portanto diverge para +\infty.
Também existe o caso de limite em ponto finito que é infinito, por exemplo
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{1}{x} = \infty,
que indica uma assíntota vertical em x=0.

Passo 6

Resumo prático com exemplos finais (curto e direto) — receitas de bolso para a prova:
  • Para \lim_{x\to a} f(x): se f é contínua em a, basta substituir; se der indeterminação, tente fatoração, cancelar termos, ou regra de L’Hôpital (se for permitido).
    • Exemplo: \lim_{x\to 3} 2x = 6.
  • Para \lim_{x\to\infty} f(x): examine o comportamento para x grandes; para racionais comparar graus dos polinômios; para funções com expoente e polinômio, lembrança: exponenciais dominam polinômios, polinômios dominam logaritmos.
    • Exemplo: \lim_{x\to\infty} \dfrac{1}{x}=0.
    • Exemplo adicional: \lim_{x\to\infty} \dfrac{3x^{2}+1}{2x^{2}-5}=\dfrac{3}{2}.
  • Para identificar divergência a +\infty ou -\infty, use a definição com K (ou analise o sinal e o crescimento da função).

Resposta

\lim_{x\to 3}2x=6
\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0

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