O que caracteriza dois planos paralelos no espaço?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a condição que faz dois planos do espaço serem paralelos. O conteúdo envolvido é geometria analítica em R^3: vamos usar a representação de um plano pela sua equação geral e o conceito de vetor normal.

Passo 2

Escrevemos dois planos genéricos:
P1: a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0,
P2: a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0
Em cada caso, o vetor normal ao plano é, respectivamente, n1=(a1,b1,c1) e n2=(a2,b2,c2).

Passo 3

Do conceito de plano, dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são paralelos (colineares). Em termos de vetores, isso significa que existe escalar kneq0 tal que
n1 = k,n2

Passo 4

Escrevendo essa colinearidade em coordenadas, obtemos a condição
a1a2 ;=;b1b2;=;c1c2;=;k
Se isso vale, então P1 e P2 são (no máximo) paralelos.

Passo 5

Para distinguir planos coincidentes de paralelos distintos, basta comparar d1 e d2. Se além de n1 = k,n2 tivermos d1 = k,d2, os planos coincidem; caso contrário, são paralelos mas não coincidentes.

Resposta

Dois planos em R^3 são paralelos se, e somente se, seus vetores normais são proporcionais, isto é, se os coeficientes (a1,b1,c1) e (a2,b2,c2) satisfazem
a1a2 ;=;b1b2;=;c1c2

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