O que caracteriza dois planos paralelos no espaço?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a condição que faz dois planos do espaço serem paralelos. O conteúdo envolvido é geometria analítica em
: vamos usar a representação de um plano pela sua equação geral e o conceito de vetor normal.
Passo 2
Escrevemos dois planos genéricos:
Em cada caso, o vetor normal ao plano é, respectivamente,
e
.
Passo 3
Do conceito de plano, dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são paralelos (colineares). Em termos de vetores, isso significa que existe escalar
tal que
Passo 4
Escrevendo essa colinearidade em coordenadas, obtemos a condição
Se isso vale, então
e
são (no máximo) paralelos.
Passo 5
Para distinguir planos coincidentes de paralelos distintos, basta comparar
e
. Se além de
tivermos
, os planos coincidem; caso contrário, são paralelos mas não coincidentes.
Resposta
Dois planos em
são paralelos se, e somente se, seus vetores normais são proporcionais, isto é, se os coeficientes
e
satisfazem