Como determinar a equação geral de um plano dado um ponto e um vetor normal?

Passo 1

O enunciado pede a equação geral de um plano em R^3 quando conhecemos um ponto ,P0=(x0,y0,z0), e um vetor normal ,n=(a,b,c). Para isso vamos usar o fato de que, para qualquer ponto P=(x,y,z) do plano, o vetor P0P é perpendicular a n, ou seja, seu produto escalar é zero.

Passo 2

Escrevendo a condição de ortogonalidade pelo produto escalar, temos\r
\r
Substituindo , e , isso vira\r

Passo 3

Ao expandir o produto escalar obtemos\r
\r
Reagrupando os termos,\r
\r
Definindo , chegamos à forma geral\r

Resposta

ax+by+cz+d=0, d=-(ax0+by0+cz0)

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