Quais são as condições para que duas retas distintas estejam contidas em um mesmo plano?
Passo 1
O enunciado pede as condições para que duas retas distintas e do espaço tridimensional estejam contidas num mesmo plano. O conteúdo necessário é geometria analítica: vamos representar cada reta em forma paramétrica, usar vetores diretores e aplicar o produto misto (produto escalar triplo) para identificar coplanaridade.
Passo 2
Escolhemos dois pontos auxiliares e e vetores diretores para e para . Então
O vetor que liga a é . As três direções PQ, vec v e vec u ficam num mesmo plano se, e só se, forem linearmente dependentes.
Passo 3
A condição de dependência linear de três vetores em R^3 é dada pelo produto escalar triplo zero:
(,Q - P,)cdotl(vec vtimes vec ur)=0
Quando esse escalar é nulo, existe um plano que contém simultaneamente PQ, vec v e vec u, e portanto contém as retas L1 e L2. Caso contrário, as retas são “reversas” (skew) e não há plano único que as englobe.
Passo 4
Do ponto de vista puramente geométrico, esse critério unifica dois casos clássicos de coplanaridade:
As retas se intersectam num ponto (existe t,s tais que P + t,vec v = Q + s,vec u).
As retas são paralelas (vec v é múltiplo escalar de vec u).
Em ambos os casos o produto misto acima é zero.
Resposta
Duas retas distintas L1 e L2 estão contidas num mesmo plano se, e somente se,
(,Q - P,)cdotl(vec vtimes vec ur)=0,
o que equivale a dizer que elas se intersectam ou que são paralelas.