Quais são as condições para que duas retas distintas estejam contidas em um mesmo plano?

Passo 1

O enunciado pede as condições para que duas retas distintas L1 e L2 do espaço tridimensional estejam contidas num mesmo plano. O conteúdo necessário é geometria analítica: vamos representar cada reta em forma paramétrica, usar vetores diretores e aplicar o produto misto (produto escalar triplo) para identificar coplanaridade.

Passo 2

Escolhemos dois pontos auxiliares Pin L1 e Qin L2 e vetores diretores vec v para L1 e vec u para L2. Então
L1: X = P + t,vec v, L2: X = Q + s,vec u
O vetor que liga P a Q é PQ = Q - P. As três direções PQ, vec v e vec u ficam num mesmo plano se, e só se, forem linearmente dependentes.

Passo 3

A condição de dependência linear de três vetores em R^3 é dada pelo produto escalar triplo zero:
(,Q - P,)cdotl(vec vtimes vec ur)=0
Quando esse escalar é nulo, existe um plano que contém simultaneamente PQ, vec v e vec u, e portanto contém as retas L1 e L2. Caso contrário, as retas são “reversas” (skew) e não há plano único que as englobe.

Passo 4

Do ponto de vista puramente geométrico, esse critério unifica dois casos clássicos de coplanaridade:
  1. As retas se intersectam num ponto (existe t,s tais que P + t,vec v = Q + s,vec u).
  2. As retas são paralelas ( vec v é múltiplo escalar de vec u).
    Em ambos os casos o produto misto acima é zero.

Resposta

Duas retas distintas L1 e L2 estão contidas num mesmo plano se, e somente se,
(,Q - P,)cdotl(vec vtimes vec ur)=0,
o que equivale a dizer que elas se intersectam ou que são paralelas.

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