Defina cada uma das transformações do plano no plano: expansão, contração, reflexão em torno do eixo x, reflexão em torno da origem, rotação, cisalhamento horizontal.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos seis transformações afins do plano sobre ele mesmo: expansão, contração, reflexão em torno do eixo x, reflexão em torno da origem, rotação e cisalhamento horizontal. Vamos apresentar para cada uma a ideia geométrica e sua fórmula como transformação de pontos (x,y).

Passo 2

Expansão e contração são dilatações em relação à origem com fator de escala k:
  • se k>1, chamamos de expansão (afastamento dos pontos da origem);
  • se 0<k<1, chamamos de contração (aproximação dos pontos da origem).
    Em ambos os casos, a fórmula é
(x,y)\mapsto (k\,x,\;k\,y).

Passo 3

Reflexões espelham o plano:
  • reflexão em torno do eixo x: inverte a ordenada,
(x,y)\mapsto (x,\;-y);
  • reflexão em torno da origem: inverte abscissa e ordenada,
(x,y)\mapsto (-x,\;-y).

Passo 4

Rotação giram todos os pontos em torno da origem por um ângulo \theta em sentido anti-horário. A fórmula é
(x,y)\mapsto \bigl(x\cos\theta - y\sin\theta,\;x\sin\theta + y\cos\theta\bigr).

Passo 5

Cisalhamento horizontal (shear) empurra cada ponto na direção x proporcional a sua coordenada y. Com parâmetro k temos
(x,y)\mapsto (x + k\,y,\;y).

Resposta

• Expansão (fator k>1) ou contração (fator 0<k<1): (x,y)\mapsto (k\,x,\;k\,y).
• Reflexão em torno do eixo x: (x,y)\mapsto (x,\,-y).
• Reflexão em torno da origem: (x,y)\mapsto (-x,\,-y).
• Rotação de ângulo \theta em sentido anti-horário: (x,y)\mapsto (x\cos\theta - y\sin\theta,\;x\sin\theta + y\cos\theta).
• Cisalhamento horizontal (shear) de parâmetro k: (x,y)\mapsto (x + k\,y,\;y).

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