Defina cada uma das transformações do plano no plano: expansão, contração, reflexão em torno do eixo
, reflexão em torno da origem, rotação, cisalhamento horizontal.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos seis transformações afins do plano sobre ele mesmo: expansão, contração, reflexão em torno do eixo
, reflexão em torno da origem, rotação e cisalhamento horizontal. Vamos apresentar para cada uma a ideia geométrica e sua fórmula como transformação de pontos
.
Passo 2
Expansão e contração são dilatações em relação à origem com fator de escala
:
- se
, chamamos de expansão (afastamento dos pontos da origem); - se
, chamamos de contração (aproximação dos pontos da origem).
Em ambos os casos, a fórmula é
Passo 3
Reflexões espelham o plano:
- reflexão em torno do eixo
: inverte a ordenada,
- reflexão em torno da origem: inverte abscissa e ordenada,
Passo 4
Rotação giram todos os pontos em torno da origem por um ângulo
em sentido anti-horário. A fórmula é
Passo 5
Cisalhamento horizontal (shear) empurra cada ponto na direção
proporcional a sua coordenada
. Com parâmetro
temos
Resposta
• Expansão (fator
) ou contração (fator
):
.
• Reflexão em torno do eixo :
.
• Reflexão em torno da origem: .
• Rotação de ângulo em sentido anti-horário:
.
• Cisalhamento horizontal (shear) de parâmetro :
.
• Reflexão em torno do eixo
• Reflexão em torno da origem:
• Rotação de ângulo
• Cisalhamento horizontal (shear) de parâmetro