Caracterize e encontre a forma matricial das seguintes formas quadráticas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente caracterizar e encontrar a forma matricial da seguinte forma quadrática:
Isso significa que vamos analisar os coeficientes dessa equação quadrática e transformar essa expressão em uma matriz, que é uma forma organizada de representar sistemas lineares ou quadráticos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que tudo fique igual a zero. Isso facilita na hora de identificar os coeficientes para a forma matricial:
Agora, nossa equação fica:
Passo 3
Vamos identificar os coeficientes correspondentes a cada termo:
Coeficiente de : -11
Coeficiente de : 84
Coeficiente de : 24
Coeficiente de : 13
Coeficiente de : -49
Termo constante: -156
Passo 4
Para escrever a forma matricial de uma forma quadrática, usamos uma matriz simétrica que contém os coeficientes dos termos quadráticos e cruzados, e um vetor para os termos lineares. A estrutura geral fica assim:
Onde:
é a matriz dos coeficientes quadráticos,
é o vetor dos coeficientes lineares,
é o termo constante,
é o vetor das variáveis .
Passo 5
Vamos construir a matriz . Como a matriz deve ser simétrica, o coeficiente de será dividido igualmente entre os elementos fora da diagonal:
Onde:
a = -11 (coeficiente de x1^2),
b = 842 = 42 (metade do coeficiente de x1x2),
d = 24 (coeficiente de x2^2).
Então,
A = -11 & 42 42 & 24
Passo 6
Agora, vamos definir o vetor b com os coeficientes lineares:
b = 13 -49
E o termo constante c é:
c = -156
Passo 7
Com tudo isso, podemos escrever a forma matricial completa da forma quadrática: