Caracterize e encontre a forma matricial das seguintes formas quadráticas:
-11 x1^2+84 x1 x2+24 x2^2=-13 x1+49 x2+156

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente caracterizar e encontrar a forma matricial da seguinte forma quadrática:
-11 x1^2 + 84 x1 x2 + 24 x2^2 = -13 x1 + 49 x2 + 156
Isso significa que vamos analisar os coeficientes dessa equação quadrática e transformar essa expressão em uma matriz, que é uma forma organizada de representar sistemas lineares ou quadráticos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que tudo fique igual a zero. Isso facilita na hora de identificar os coeficientes para a forma matricial:
-11 x1^2 + 84 x1 x2 + 24 x2^2 + 13 x1 - 49 x2 - 156 = 0
Agora, nossa equação fica:
-11 x1^2 + 84 x1 x2 + 24 x2^2 + 13 x1 - 49 x2 - 156 = 0

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes correspondentes a cada termo:
  • Coeficiente de x1^2 : -11
  • Coeficiente de x1x2 : 84
  • Coeficiente de x2^2 : 24
  • Coeficiente de x1 : 13
  • Coeficiente de x2 : -49
  • Termo constante: -156

Passo 4

Para escrever a forma matricial de uma forma quadrática, usamos uma matriz simétrica que contém os coeficientes dos termos quadráticos e cruzados, e um vetor para os termos lineares. A estrutura geral fica assim:
x^T A x + b^T x + c = 0
Onde:
  • A é a matriz dos coeficientes quadráticos,
  • b é o vetor dos coeficientes lineares,
  • c é o termo constante,
  • x é o vetor das variáveis [x1, x2]^T.

Passo 5

Vamos construir a matriz A. Como a matriz deve ser simétrica, o coeficiente de x1x2 será dividido igualmente entre os elementos fora da diagonal:
A = a & b b & d
Onde:
  • a = -11 (coeficiente de x1^2),
  • b = 842 = 42 (metade do coeficiente de x1x2),
  • d = 24 (coeficiente de x2^2).
Então,
A = -11 & 42 42 & 24

Passo 6

Agora, vamos definir o vetor b com os coeficientes lineares:
b = 13 -49
E o termo constante c é:
c = -156

Passo 7

Com tudo isso, podemos escrever a forma matricial completa da forma quadrática:
x^T -11 & 42 42 & 24 x + 13 & -49 x - 156 = 0

Resposta

A forma matricial da forma quadrática é:
x^T -11 & 42 42 & 24 x + 13 & -49 x - 156 = 0

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