Seja A uma matriz quadrada de ordem 5 , cujo determinante é igual a -4 , pede-se:
O determinante da matriz B obtida de A após serem realizadas as seguintes operações: L3 long<=ftrightarrow L2, L1 longrightarrow L1+3 L5, L4 longrightarrow-2 L4.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz quadrada A de ordem 5 com det(A)=-4. Sobre A fazemos três operações elementares para obter B:
  1. trocamos L3 com L2;
  2. somamos 3L5 em L1;
  3. multiplicamos L4 por -2.
    Para resolver precisamos usar as regras de como cada operação modifica o determinante.

Passo 2

A troca de duas linhas ( L3rightarrow L2) faz o determinante mudar de sinal. Se chamarmos de D1 o determinante após essa troca, temos
D1 = -,det(A)

Passo 3

A operação L1 L1+3L5 (adição de múltiplo de uma linha a outra) não altera o determinante. Logo, chamando de D2 o determinante após esse passo,
D2 = D1

Passo 4

Multiplicar uma linha por um escalar lambda faz o determinante ser multiplicado por lambda. Aqui lambda=-2 na linha 4, então, se D3 é o determinante após esse passo,
D3 = (-2),D2

Passo 5

Juntando os fatores:
det(B) = D3 = (-2)times D2 = (-2)times(-1)timesdet(A)
Substituindo det(A)=-4,
det(B) = (-2)times(-1)times(-4) = -8

Resposta

-8

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