Caracterize as funções definidas em
e que satisfazem o seguinte: Existe uma partição de
em relação à qual a soma inferior da função é igual à soma superior. Prove sua afirmação.
Passo 1
O enunciado pede que a gente caracterize todas as funções
definidas em
tais que existe uma partição de
para a qual a soma inferior da função é igual à soma superior. Ou seja: existe uma partição
tal que
Aqui vou assumir a hipótese natural necessária para falar de somas inferior e superior: a função
é limitada (se não for limitada as somas podem ser
e a questão fica fora do escopo usual). Vou listar também os dados úteis que usarei:
- Para cada subintervalo
da partição defino - As somas inferior e superior relativas a
são
O que preciso provar: dar uma condição necessária e suficiente em
que equivala à existência de
com
.
Passo 2
Vou explicar as definições que usei (para quem está com sono e precisa de revisão rápida).
-
é o maior número que é menor ou igual a todos os valores de naquele intervalo; é o menor número que é maior ou igual a todos os valores de naquele intervalo. - Em cada subintervalo
temos para todo no subintervalo, logo . Então cada termo é não negativo. - A diferença entre as somas é
Isto será a peça-chave: se a soma das quantidades não negativas
é zero, cada parcela deve ser zero (saber usar que soma de não-negativos é zero implica cada termo é zero é importante e simples).
Passo 3
Prova da condição necessária (se existe
com
então
é constante em cada subintervalo de
).
Suponha que
seja uma partição tal que
. Então
Como para todo
temos
e
, cada termo
é não negativo. A soma de termos não negativos é zero, então cada termo deve ser zero:
Para um índice
em que
(intervalo de comprimento positivo) segue que
, ou seja
Mas
e
. Se supremo e ínfimo coincidem, o conjunto de valores de
nesse intervalo tem uma única possibilidade: todos os
nesse intervalo valem esse número comum. Formalmente, se
então para todo
temos
, portanto
. Assim
é constante em
. Para qualquer
com
o intervalo é degenerado e não afeta nada. Concluímos: a existência de
com
implica que
é constante em cada subintervalo não-degenerado de
. Em outras palavras,
é uma função constante por partes com respeito à partição
.
Passo 4
Prova da condição suficiente (se
é constante em cada subintervalo de alguma partição
então
).
Suponha que existe uma partição
tal que, para cada
, existe um número
com
para todo
. Então em cada intervalo
temos
Logo
para todo
(com
). Portanto
e
logo
. Assim qualquer função que seja constante em cada subintervalo de alguma partição (isto é, uma função “degrau” com número finito de degraus) possui a propriedade desejada.
Passo 5
Observações, exemplos e fechamento didático.
- Resumindo: a propriedade "existe
tal que " é exatamente a propriedade de que é constante em cada subintervalo de alguma partição finita de . Essas funções são normalmente chamadas de funções em degraus (funções por partes constantes, com número finito de partes). - Exemplos: a) Uma função constante global
satisfaz a propriedade: para qualquer partição tem . b) Uma função que vale em e em (duas peças) satisfaz a propriedade para a partição . c) Uma função contínua não constante não tem essa propriedade (porque em qualquer intervalo de comprimento positivo o supremo e ínfimo diferem), então não existe partição que faça as somas coincidir. - Sobre a hipótese de limitada: se
não for limitada então as somas podem ser e a igualdade trivial ou não é o que se busca na teoria das somas inferior/superior; por isso a hipótese de função limitada é a adequada e (implicitamente) necessária para a questão no contexto clássico.
Resposta
As funções que satisfazem a condição são exatamente as funções constantes por partes (funções em degraus): existem
tais que
é constante em cada intervalo
.