Caracterize as funções definidas em [a, b] e que satisfazem o seguinte: Existe uma partição de [a, b] em relação à qual a soma inferior da função é igual à soma superior. Prove sua afirmação.

Passo 1

O enunciado pede que a gente caracterize todas as funções f definidas em [a,b] tais que existe uma partição de [a,b] para a qual a soma inferior da função é igual à soma superior. Ou seja: existe uma partição P=\{x_0=a<x_1<\dots<x_n=b\} tal que
L(f,P)=U(f,P).
Aqui vou assumir a hipótese natural necessária para falar de somas inferior e superior: a função f:[a,b]\to\mathbb{R} é limitada (se não for limitada as somas podem ser \pm\infty e a questão fica fora do escopo usual). Vou listar também os dados úteis que usarei:
  • Para cada subintervalo [x_{i-1},x_i] da partição P defino m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]} f,\qquad M_i=\sup_{[x_{i-1},x_i]} f, \qquad \Delta x_i=x_i-x_{i-1}.
  • As somas inferior e superior relativas a P são L(f,P)=\sum_{i=1}^{n} m_i\,\Delta x_i,\qquad U(f,P)=\sum_{i=1}^{n} M_i\,\Delta x_i.
O que preciso provar: dar uma condição necessária e suficiente em f que equivala à existência de P com L(f,P)=U(f,P).

Passo 2

Vou explicar as definições que usei (para quem está com sono e precisa de revisão rápida).
  • \inf_{[x_{i-1},x_i]} f é o maior número que é menor ou igual a todos os valores de f naquele intervalo; \sup_{[x_{i-1},x_i]} f é o menor número que é maior ou igual a todos os valores de f naquele intervalo.
  • Em cada subintervalo [x_{i-1},x_i] temos \,m_i\le f(x)\le M_i para todo x no subintervalo, logo m_i\le M_i. Então cada termo M_i-m_i é não negativo.
  • A diferença entre as somas é U(f,P)-L(f,P)=\sum_{i=1}^n (M_i-m_i)\,\Delta x_i.
Isto será a peça-chave: se a soma das quantidades não negativas (M_i-m_i)\Delta x_i é zero, cada parcela deve ser zero (saber usar que soma de não-negativos é zero implica cada termo é zero é importante e simples).

Passo 3

Prova da condição necessária (se existe P com L(f,P)=U(f,P) então f é constante em cada subintervalo de P).
Suponha que P seja uma partição tal que L(f,P)=U(f,P). Então
0=U(f,P)-L(f,P)=\sum_{i=1}^n (M_i-m_i)\,\Delta x_i.
Como para todo i temos (M_i-m_i)\ge 0 e \Delta x_i\ge 0, cada termo (M_i-m_i)\,\Delta x_i é não negativo. A soma de termos não negativos é zero, então cada termo deve ser zero:
\text{para todo }i,\qquad (M_i-m_i)\,\Delta x_i=0.
Para um índice i em que \Delta x_i>0 (intervalo de comprimento positivo) segue que M_i-m_i=0, ou seja
M_i=m_i.
Mas M_i=\sup_{[x_{i-1},x_i]} f e m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]} f. Se supremo e ínfimo coincidem, o conjunto de valores de f nesse intervalo tem uma única possibilidade: todos os f(x) nesse intervalo valem esse número comum. Formalmente, se M_i=m_i=c então para todo x\in[x_{i-1},x_i] temos c\le f(x)\le c, portanto f(x)=c. Assim f é constante em [x_{i-1},x_i]. Para qualquer i com \Delta x_i=0 o intervalo é degenerado e não afeta nada. Concluímos: a existência de P com L(f,P)=U(f,P) implica que f é constante em cada subintervalo não-degenerado de P. Em outras palavras, f é uma função constante por partes com respeito à partição P.

Passo 4

Prova da condição suficiente (se f é constante em cada subintervalo de alguma partição P então L(f,P)=U(f,P)).
Suponha que existe uma partição P=\{x_0,\dots,x_n\} tal que, para cada i, existe um número c_i com f(x)=c_i para todo x\in[x_{i-1},x_i]. Então em cada intervalo [x_{i-1},x_i] temos
m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]} f = c_i,\qquad M_i=\sup_{[x_{i-1},x_i]} f = c_i.
Logo M_i-m_i=0 para todo i (com \Delta x_i>0). Portanto
U(f,P)=\sum_{i=1}^n M_i\Delta x_i=\sum_{i=1}^n c_i\Delta x_i
e
L(f,P)=\sum_{i=1}^n m_i\Delta x_i=\sum_{i=1}^n c_i\Delta x_i,
logo U(f,P)=L(f,P). Assim qualquer função que seja constante em cada subintervalo de alguma partição (isto é, uma função “degrau” com número finito de degraus) possui a propriedade desejada.

Passo 5

Observações, exemplos e fechamento didático.
  • Resumindo: a propriedade "existe P tal que L(f,P)=U(f,P)" é exatamente a propriedade de que f é constante em cada subintervalo de alguma partição finita de [a,b]. Essas funções são normalmente chamadas de funções em degraus (funções por partes constantes, com número finito de partes).
  • Exemplos: a) Uma função constante global f(x)\equiv C satisfaz a propriedade: para qualquer partição P tem L(f,P)=U(f,P)=C(b-a). b) Uma função que vale 1 em [a,(a+b)/2] e 2 em [(a+b)/2,b] (duas peças) satisfaz a propriedade para a partição \{a,(a+b)/2,b\}. c) Uma função contínua não constante não tem essa propriedade (porque em qualquer intervalo de comprimento positivo o supremo e ínfimo diferem), então não existe partição que faça as somas coincidir.
  • Sobre a hipótese de limitada: se f não for limitada então as somas podem ser \pm\infty e a igualdade trivial +\infty=+\infty ou -\infty=-\infty não é o que se busca na teoria das somas inferior/superior; por isso a hipótese de função limitada é a adequada e (implicitamente) necessária para a questão no contexto clássico.

Resposta

As funções que satisfazem a condição são exatamente as funções constantes por partes (funções em degraus): existem a=x_0<x_1<\dots<x_n=b tais que f é constante em cada intervalo [x_{i-1},x_i].

Exercícios relacionados