Demonstre por indução que 8^{n}-1 é mútliplo de 7
Resposta: Para n=1 temos 8^{1}-1=7. Se 8^{k}-1=7 m, temos 8^{k+1}-1=8 \cdot 8^{k}-1=8\left(8^{k}-1\right)+8-1=8(7 m)+7=56 m+7=7(8 m+1).

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar por indução que, para todo n natural (vou assumir n\ge 1), o número 8^{n}-1 é múltiplo de 7.
Informações dadas e objetivo final: mostrar que para cada n\in\mathbb{N} existe um inteiro t tal que 8^{n}-1=7t.

Passo 2

Breve explicação do método de indução matemática (na linguagem simples):
  • Primeiro confirma-se a base da indução (um caso inicial, normalmente n=1). Isso mostra que a afirmação é verdadeira para o primeiro valor.
  • Depois assume-se que a afirmação é verdadeira para um k qualquer (isso é a hipótese de indução).
  • A partir dessa hipótese prova-se que a afirmação também vale para k+1.
    Se esses três passos são feitos, então a afirmação vale para todo n\ge base por causa do “efeito dominó”.

Passo 3

Base da indução: verificar n=1.
Calcular 8^{1}-1.
8^{1}-1=8-1=7.
Como 7 é múltiplo de 7 7\cdot1), a afirmação é verdadeira para n=1.

Passo 4

Hipótese de indução: suponha que a afirmação seja verdadeira para algum k\ge 1. Ou seja, suponha que exista um inteiro m tal que
8^{k}-1=7m.
Aqui m\in\mathbb{Z}. Esta é a suposição que vamos usar para provar o caso k+1.

Passo 5

Passo indutivo: mostrar que a partir de 8^{k}-1=7m segue que 8^{k+1}-1 também é múltiplo de 7. Começamos escrevendo 8^{k+1}-1 e manipulando algébrica e logicamente, mostrando cada etapa:
8^{k+1}-1=8\cdot 8^{k}-1.
Agora usamos a decomposição que facilita substituir a hipótese:
8\cdot 8^{k}-1=8\bigl(8^{k}-1\bigr)+(8-1).
Substituindo a hipótese de indução 8^{k}-1=7m nessa expressão:
8\bigl(8^{k}-1\bigr)+(8-1)=8\cdot(7m)+7.
Calculando:
8\cdot(7m)+7=56m+7=7(8m+1).
Como 8m+1 é um inteiro (produto e soma de inteiros), concluímos que 8^{k+1}-1 é igual a 7 vezes um inteiro; logo 8^{k+1}-1 é múltiplo de 7.

Passo 6

Concluímos a indução: verificamos a base n=1 e provamos que a verdade para k implica a verdade para k+1. Pelo princípio da indução matemática, a afirmação vale para todo n\in\mathbb{N}, n\ge 1.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N} com n\ge 1, 8^{n}-1 é múltiplo de 7.

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