Demonstre por indução que
é mútliplo de 7
Resposta: Para
temos
. Se
, temos
.
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar por indução que, para todo
natural (vou assumir
), o número
é múltiplo de 7.
Informações dadas e objetivo final: mostrar que para cada existe um inteiro
tal que
.
Informações dadas e objetivo final: mostrar que para cada
Passo 2
Breve explicação do método de indução matemática (na linguagem simples):
- Primeiro confirma-se a base da indução (um caso inicial, normalmente
). Isso mostra que a afirmação é verdadeira para o primeiro valor. - Depois assume-se que a afirmação é verdadeira para um
qualquer (isso é a hipótese de indução). - A partir dessa hipótese prova-se que a afirmação também vale para
.
Se esses três passos são feitos, então a afirmação vale para todobase por causa do “efeito dominó”.
Passo 3
Base da indução: verificar
.
Calcular .
Calcular
Como
é múltiplo de
(é
), a afirmação é verdadeira para
.
Passo 4
Hipótese de indução: suponha que a afirmação seja verdadeira para algum
. Ou seja, suponha que exista um inteiro
tal que
Aqui
. Esta é a suposição que vamos usar para provar o caso
.
Passo 5
Passo indutivo: mostrar que a partir de
segue que
também é múltiplo de 7. Começamos escrevendo
e manipulando algébrica e logicamente, mostrando cada etapa:
Agora usamos a decomposição que facilita substituir a hipótese:
Substituindo a hipótese de indução
nessa expressão:
Calculando:
Como
é um inteiro (produto e soma de inteiros), concluímos que
é igual a
vezes um inteiro; logo
é múltiplo de
.
Passo 6
Concluímos a indução: verificamos a base
e provamos que a verdade para
implica a verdade para
. Pelo princípio da indução matemática, a afirmação vale para todo
,
.
Resposta
Para todo
com
,
é múltiplo de
.