e pede que se faça o gráfico de f e de -f e que se identifique \inf(f),\\ \sup(f),\\ \inf(-f) e \sup(-f). Também pede para relacionar esses números entre si.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Domínio efetivo de f é o intervalo [0,8] (porque as duas peças cobrem de 0 até 8, com x=5 pertencendo à primeira peça).
A primeira peça é um polinômio quadrático definido em [0,5].
A segunda peça é uma reta definida em (5,8].
Perguntas: desenhar os gráficos de f e de -f; encontrar \inf e \sup de cada função; indicar relações entre esses números.]
Passo 2
Análise detalhada da primeira peça f_1(x)=-x^{2}+4x+2 em [0,5].
Primeiro, identificar a forma da parábola:
Coeficiente de x^{2} é a=-1 (negativo), então a parábola é voltada para baixo (concavidade para baixo), o que significa que tem um máximo local (vértice) dentro do intervalo, se o vértice cair em [0,5].
Calcular o vértice da parábola (fórmula do vértice):
x_{\text{v}} = -\frac{b}{2a},
onde, para f_1(x)=ax^{2}+bx+c, temos a=-1 e b=4. Então
x_{\text{v}} = -\frac{4}{2\cdot(-1)} = 2.
Como x_{\text{v}}=2 pertence a [0,5], o vértice está dentro do intervalo da peça e dá o máximo local (e será candidato a máximo global).
Calcular o valor no vértice:
f(2) = -2^{2}+4\cdot2+2 = -4+8+2 = 6.
Calcular os valores nas extremidades do intervalo [0,5]:
f(0) = -0^{2}+4\cdot0+2 = 2,
f(5) = -5^{2}+4\cdot5+2 = -25+20+2 = -3.
Resumo da primeira peça:
Vértice em (2,6) (máximo local com valor 6).
Pontos de borda: (0,2) e (5,-3).
Passo 3
Análise da segunda peça f_2(x)=-8+x em (5,8].
Esta é uma reta de coeficiente angular 1 (inclinação positiva), logo é crescente em (5,8].
Calcular valores extremos na segunda peça dentro do seu intervalo:
Limite à direita de 5: \lim_{x\to5^+}f_2(x)=-8+5=-3. (Observação: esse valor coincide com f(5) obtido na primeira peça.)
Em x=8: f(8) = -8+8 = 0.
Como a reta é crescente, os valores em (5,8] variam de (próximo de) -3 até 0, com 0 sendo atingido em x=8. Em x=5 a definição do enunciado dá f(5) pela primeira peça, e esse valor é -3. Portanto a função é contínua em x=5 e o ponto (5,-3) pertence ao gráfico.
Passo 4
Concluir o gráfico de f a partir das peças (instruções práticas para desenhar no exame):
Desenhar a parábola f_1 em [0,5] com vértice em (2,6), passando por (0,2) e (5,-3). Como a parábola é voltada para baixo, ela sobe de x=0 até x=2 e desce de x=2 até x=5.
Desenhar a reta f_2 em (5,8] que parte (à direita de 5) de -3 e sobe linearmente até (8,0). Marcar (5,-3) como ponto fechado (porque pertence à primeira peça) e na reta colocar o ponto correspondente ao limite direito de 5 como aberto, mas a continuidade garante que graficamente os dois coincidem.
Assim obtém-se o gráfico de f em todo [0,8].
Passo 5
Determinar \sup(f) e \inf(f) com justificativa.
Definição curta (para lembrar): \sup (supremo) é o menor majorante da imagem da função; \inf (ínfimo) é o maior minorante. Se o supremo (ou ínfimo) é alcançado por algum x do domínio, então é máximo (ou mínimo) e o valor é atingido.
No nosso caso, como f é contínua em um intervalo compacto [0,8], ela atinge máximo e mínimo (Teorema do valor extremo). Verificamos candidatos:
Máximos candidatos: valor no vértice f(2)=6 e valores em bordas f(0)=2,\\ f(8)=0. O maior é 6. Logo \sup(f)=6 e esse supremo é atingido (é um máximo) em x=2.
Mínimos candidatos: f(5)=-3 e outros valores são maiores (f(8)=0,f(0)=2). Não há valor menor que -3 nas duas peças (a parábola em [0,5] tem mínimo em borda x=5 de -3, e a reta varia entre -3 e 0). Logo \inf(f)=-3, atingido em x=5.
Passo 6
Construir o gráfico de -f e determinar \sup(-f) e \inf(-f).
Gráfico de -f: é simplesmente a reflexão do gráfico de f em relação ao eixo x (trocar os sinais das ordenadas).
Análise por peça:
Para 0\le x\le5: -f(x) = x^{2}-4x-2. É uma parábola voltada para cima (coeficiente +1), com vértice em x=2. Valor no vértice:
- f(2) = -(f(2)) = -6.
Esse é agora um mínimo da curva -f na primeira peça.
Valores nas bordas:
- f(0) = -2,\quad -f(5) = 3.
Para 5<x\le8: -f(x) = 8-x, que é decrescente no intervalo, variando de (próximo de) 3 até 0 com 0 em x=8.
Agora determinar extremos:
Mínimo global de -f é o menor valor encontrado: -6 em x=2. Logo \inf(-f)=-6 (atingido).
Máximo global de -f é 3 (atingido em x=5, porque -f(5)=3). Logo \sup(-f)=3.
Passo 7
Relação geral entre sup e inf de f e -f (explicação conceitual e breve prova).
Propriedade geral: para qualquer função g é sempre verdade que
\sup(-g) = -\inf(g),\qquad \inf(-g) = -\sup(g).
Justificativa curta: se m é um maior limite inferior (ínfimo) de g, então para todo x tem g(x)\ge m; multiplicando por -1 obtemos -g(x)\le -m, logo -m é um majorante de -g. Tomando o menor desses majorantes obtemos \sup(-g)=-\inf(g). A outra igualdade é análoga.
Aplicando essa propriedade ao nosso caso dá exatamente as igualdades numéricas que encontramos: