Caracterize as funções holomorfas definidas em regiões simplesmente conexas que coincidem com suas derivadas.
Passo 1
O que o problema pede: encontrar todas as funções holomorfas
definidas numa região simplesmente conexa
que satisfazem a igualdade diferencial
Informações dadas:
é holomorfa em
e a região
é simplesmente conexa. Pedido: caracterizar (ou seja, descrever explicitamente) todas as funções
com essa propriedade.
Passo 2
Observação simples sobre exponencial e derivadas (mini-aula): a função exponencial usual
é holomorfa em todo
e satisfaz
A mesma propriedade vale para
, pois
. Além disso, vale a regra do produto para funções holomorfas: se
e
são holomorfas então
Esses fatos são básicos e podem ser usados livremente.
Passo 3
Transformação padrão para resolver a equação linear homogênea de primeira ordem (mini-aula sobre fator integrante, mas aqui é bem direto): considere a função
Vamos calcular a derivada de
usando a regra do produto e a derivada de
. Temos
Como
por hipótese, o parêntese é zero e portanto
Passo 4
Consequência de
(mini-aula sobre funções com derivada zero): se uma função holomorfa tem derivada identicamente zero numa região conectada, então essa função é constante nessa região. (Isto é imediato porque a derivada igual a zero implica função localmente constante; numa região conectada isso dá constante global.) Como
é conexa, concluímos que existe
tal que
Voltando à definição de
, obtemos
Passo 5
Verificação e comentários adicionais (mini-aula sobre unicidade e zeros): verificando, para qualquer constante
a função
é holomorfa e satisfaz
Dois casos importantes: se
obtemos a solução trivial
; se
então
não tem zeros em
. Assim, não existem soluções “parciais” que tenham zeros isolados; ou a solução é identicamente zero ou é nunca nula. Observação final: o raciocínio usado não depende essencialmente da simples conexidade de
(a exponencial e a identidade
estão definidas em qualquer domínio), mas a hipótese de região conexa é necessária para concluir que
é constante globalmente a partir de
.