Caracterize as funções holomorfas definidas em regiões simplesmente conexas que coincidem com suas derivadas.

Passo 1

O que o problema pede: encontrar todas as funções holomorfas f definidas numa região simplesmente conexa U\subset\mathbb{C} que satisfazem a igualdade diferencial
f'(z)=f(z)\quad\text{para todo }z\in U.
Informações dadas: f é holomorfa em U e a região U é simplesmente conexa. Pedido: caracterizar (ou seja, descrever explicitamente) todas as funções f com essa propriedade.

Passo 2

Observação simples sobre exponencial e derivadas (mini-aula): a função exponencial usual \exp(z)=e^{z} é holomorfa em todo \mathbb{C} e satisfaz
\frac{d}{dz}e^{z}=e^{z}.
A mesma propriedade vale para e^{-z}, pois \frac{d}{dz}e^{-z}=-e^{-z}. Além disso, vale a regra do produto para funções holomorfas: se u e v são holomorfas então
\frac{d}{dz}(u(z)v(z))=u'(z)v(z)+u(z)v'(z).
Esses fatos são básicos e podem ser usados livremente.

Passo 3

Transformação padrão para resolver a equação linear homogênea de primeira ordem (mini-aula sobre fator integrante, mas aqui é bem direto): considere a função
g(z)=f(z)e^{-z}.
Vamos calcular a derivada de g usando a regra do produto e a derivada de e^{-z}. Temos
g'(z)=f'(z)e^{-z}+f(z)\bigl(e^{-z}\bigr)'=f'(z)e^{-z}-f(z)e^{-z}=e^{-z}\bigl(f'(z)-f(z)\bigr).
Como f'(z)=f(z) por hipótese, o parêntese é zero e portanto
g'(z)=0\quad\text{em }U.

Passo 4

Consequência de g'(z)=0 (mini-aula sobre funções com derivada zero): se uma função holomorfa tem derivada identicamente zero numa região conectada, então essa função é constante nessa região. (Isto é imediato porque a derivada igual a zero implica função localmente constante; numa região conectada isso dá constante global.) Como U é conexa, concluímos que existe C\in\mathbb{C} tal que
g(z)=C\quad\text{para todo }z\in U.
Voltando à definição de g, obtemos
f(z)e^{-z}=C \quad\Rightarrow\quad f(z)=C e^{z}\quad\text{para todo }z\in U.

Passo 5

Verificação e comentários adicionais (mini-aula sobre unicidade e zeros): verificando, para qualquer constante C\in\mathbb{C} a função f(z)=C e^{z} é holomorfa e satisfaz
f'(z)=C e^{z}=f(z).
Dois casos importantes: se C=0 obtemos a solução trivial f\equiv 0; se C\neq0 então f não tem zeros em U. Assim, não existem soluções “parciais” que tenham zeros isolados; ou a solução é identicamente zero ou é nunca nula. Observação final: o raciocínio usado não depende essencialmente da simples conexidade de U (a exponencial e a identidade z estão definidas em qualquer domínio), mas a hipótese de região conexa é necessária para concluir que g é constante globalmente a partir de g'\equiv0.

Resposta

f(z)=C e^{z},\;C\in\mathbb{C}

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