Verifique em que pontos a função |z|^{2} é holomorfa. Conclua que esta função não é analítica em ponto algum.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) verificar em que pontos a função |z|^{2} é holomorfa; (2) concluir que essa função não é analítica em ponto algum.
As informações dadas são: a função é
f(z)=|z|^{2}.
Não há figura nem tabela. Vou trabalhar escrevendo z como z=x+iy e usar definições clássicas de diferenciabilidade complexa e as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Escrever a função em coordenadas reais para ver suas partes real e imaginária. Se z=x+iy, então
|z|^{2}=x^{2}+y^{2}.
Logo podemos considerar f como função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por
f(x,y)=u(x,y)+i v(x,y)
com
u(x,y)=x^{2}+y^{2},\qquad v(x,y)=0.
Aqui u é a parte real e v a parte imaginária de f.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras de u e v. São todas contínuas (polinômios), e explicitamente:
Usar as equações de Cauchy–Riemann (CR). As CR exigem, num ponto onde as parciais existem e são contínuas, que
u_x=v_y\quad\text{e}\quad u_y=-v_x.
Substituindo as derivadas obtidas no Passo 3 obtemos
2x=0\quad\text{e}\quad 2y=0.
Desses dois equalidades segue x=0 e y=0, ou seja, as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas apenas no ponto (x,y)=(0,0), isto é, apenas em z=0.
Passo 5
Interpretação das condições: as equações de Cauchy–Riemann são uma condição necessária para a diferenciabilidade complexa quando as parciais existem e são contínuas (o que é o caso aqui). Portanto a única possível candidata a ponto onde f seja complexamente diferenciável é z=0. Ainda não concluímos se f é ou não diferenciável em 0 — só sabemos que em nenhum outro ponto as CR são satisfeitas, logo não é diferenciável em nenhum z\neq0.
Passo 6
Verificar diretamente a diferenciabilidade em z=0 pelo limite do quociente diferencial. A definição de derivada complexa em z_0 é
Quando h\to0 o termo \overline{h}\to0, mas o termo \dfrac{\overline{h}}{h} não tem limite — depende da direção pela qual h tende a 0. Por exemplo, se h é real positivo então \overline{h}/h=1; se h é imaginário puro h=it com t\in\mathbb{R} então \overline{h}/h=-1. Assim o limite do quociente depende da direção e não existe quando z_{0}\neq0 (porque o fator z_{0} multiplica essa quantidade problemática). Portanto f não é diferenciável em nenhum z_{0}\neq0.
Passo 8
Conclusão sobre holomorfia e analiticidade. “Holomorfa” significa ser complexamente diferenciável em um aberto (em toda vizinhança). Nós mostramos que f é diferenciável apenas no ponto isolado z=0 e que não existe nenhuma vizinhança de 0 onde f seja diferenciável em todos os pontos (pois em qualquer vizinhança de 0 existem pontos z\neq0 onde f não é diferenciável). Assim f não é holomorfa em nenhum ponto (não há aberto onde seja diferenciável). Como uma função analítica precisa ser holomorfa numa vizinhança do ponto (e, portanto, representável por série de potências localmente), f também não é analítica em nenhum ponto.
Resposta
A função é complexamente diferenciável apenas em z=0, mas não é holomorfa em nenhum ponto (não existe aberto onde seja diferenciável).
Logo, |z|^{2} não é analítica em ponto algum.