Verifique em que pontos a função |z|^{2} é holomorfa. Conclua que esta função não é analítica em ponto algum.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) verificar em que pontos a função |z|^{2} é holomorfa; (2) concluir que essa função não é analítica em ponto algum.
As informações dadas são: a função é
f(z)=|z|^{2}.
Não há figura nem tabela. Vou trabalhar escrevendo z como z=x+iy e usar definições clássicas de diferenciabilidade complexa e as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Escrever a função em coordenadas reais para ver suas partes real e imaginária. Se z=x+iy, então
|z|^{2}=x^{2}+y^{2}.
Logo podemos considerar f como função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por
f(x,y)=u(x,y)+i v(x,y)
com
u(x,y)=x^{2}+y^{2},\qquad v(x,y)=0.
Aqui u é a parte real e v a parte imaginária de f.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras de u e v. São todas contínuas (polinômios), e explicitamente:
u_x=\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\qquad u_y=\frac{\partial u}{\partial y}=2y,
v_x=\frac{\partial v}{\partial x}=0,\qquad v_y=\frac{\partial v}{\partial y}=0.

Passo 4

Usar as equações de Cauchy–Riemann (CR). As CR exigem, num ponto onde as parciais existem e são contínuas, que
u_x=v_y\quad\text{e}\quad u_y=-v_x.
Substituindo as derivadas obtidas no Passo 3 obtemos
2x=0\quad\text{e}\quad 2y=0.
Desses dois equalidades segue x=0 e y=0, ou seja, as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas apenas no ponto (x,y)=(0,0), isto é, apenas em z=0.

Passo 5

Interpretação das condições: as equações de Cauchy–Riemann são uma condição necessária para a diferenciabilidade complexa quando as parciais existem e são contínuas (o que é o caso aqui). Portanto a única possível candidata a ponto onde f seja complexamente diferenciável é z=0. Ainda não concluímos se f é ou não diferenciável em 0 — só sabemos que em nenhum outro ponto as CR são satisfeitas, logo não é diferenciável em nenhum z\neq0.

Passo 6

Verificar diretamente a diferenciabilidade em z=0 pelo limite do quociente diferencial. A definição de derivada complexa em z_0 é
f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h},
se esse limite existir. Tomando z_0=0,
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{|h|^{2}-0}{h}=\frac{|h|^{2}}{h}=\overline{h}\,,
pois |h|^{2}=h\overline{h} e cancelamos um h. Agora \overline{h}\to0 quando h\to0, independentemente da direção, então o limite existe e vale 0. Logo
f'(0)=0,
portanto f é complexamente diferenciável em z=0.

Passo 7

Mostrar que em qualquer z_{0}\neq0 a derivada não existe (confirmando o que as CR indicaram). Escrever f(z)=z\overline{z}. Para z_{0}\neq0,
\frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}=\frac{(z_{0}+h)\overline{(z_{0}+h)}-z_{0}\overline{z_{0}}}{h} = z_{0}\frac{\overline{h}}{h}+\overline{z_{0}}+\overline{h}.
Quando h\to0 o termo \overline{h}\to0, mas o termo \dfrac{\overline{h}}{h} não tem limite — depende da direção pela qual h tende a 0. Por exemplo, se h é real positivo então \overline{h}/h=1; se h é imaginário puro h=it com t\in\mathbb{R} então \overline{h}/h=-1. Assim o limite do quociente depende da direção e não existe quando z_{0}\neq0 (porque o fator z_{0} multiplica essa quantidade problemática). Portanto f não é diferenciável em nenhum z_{0}\neq0.

Passo 8

Conclusão sobre holomorfia e analiticidade. “Holomorfa” significa ser complexamente diferenciável em um aberto (em toda vizinhança). Nós mostramos que f é diferenciável apenas no ponto isolado z=0 e que não existe nenhuma vizinhança de 0 onde f seja diferenciável em todos os pontos (pois em qualquer vizinhança de 0 existem pontos z\neq0 onde f não é diferenciável). Assim f não é holomorfa em nenhum ponto (não há aberto onde seja diferenciável). Como uma função analítica precisa ser holomorfa numa vizinhança do ponto (e, portanto, representável por série de potências localmente), f também não é analítica em nenhum ponto.

Resposta

A função é complexamente diferenciável apenas em z=0, mas não é holomorfa em nenhum ponto (não existe aberto onde seja diferenciável).
Logo, |z|^{2} não é analítica em ponto algum.

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