Uma função real f=f(x, y) de duas variáveis reais é chamada de função harmônica quando satisfaz a equação de Laplace
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0
Mostre que as partes real e imaginária de uma função holomorfa são funções harmônicas.

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre que as partes real e imaginária de uma função holomorfa são funções harmônicas.
Informações dadas e o que precisa ser provado:
  • Suponha que f é uma função holomorfa numa região do plano complexo.
  • Escrevemos f como
f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y),
onde u é a parte real e v a parte imaginária, ambas funções reais de (x,y).
  • A definição de função harmônica é que uma função g(x,y) satisfaz a equação de Laplace
\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=0.
O objetivo: provar que u e v satisfazem a equação de Laplace (ou seja, que são harmônicas).

Passo 2

Lembrando a definição de holomorfia e derivada complexa: f é holomorfa no ponto z se o limite
f'(z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}
existe (e é o mesmo independentemente da direção pela qual h tende a 0). Vou usar isso escolhendo duas direções diferentes para h: a direção real e a direção imaginária. Isso nos dará as equações de Cauchy–Riemann, que ligam u e v.
Calcule a derivada aproximando por incrementos reais h\in\mathbb{R}. Tomando h\to0 real,
\frac{f(z+h)-f(z)}{h} =\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+i\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h} \longrightarrow u_x(x,y)+i\,v_x(x,y).
Agora aproxime por incrementos imaginários h=it com t\in\mathbb{R} e t\to0:
\frac{f(z+it)-f(z)}{it} =\frac{u(x,y+t)-u(x,y)}{it}+i\frac{v(x,y+t)-v(x,y)}{it}.
O numerador é (u_y+ i v_y)t+o(t), então dividindo por it e passando ao limite obtemos
\frac{f(z+it)-f(z)}{it}\longrightarrow \frac{u_y(x,y)+i\,v_y(x,y)}{i}.
Como \frac{1}{i}=-i, isso é igual a
\frac{u_y+i v_y}{i}=v_y-i\,u_y.
Como f'(z) existe e é independente da direção, as duas expressões para o limite devem ser iguais:
u_x+i v_x = v_y - i u_y.
Igualando partes real e imaginária desta igualdade obtemos as equações de Cauchy–Riemann:
\boxed{u_x(x,y)=v_y(x,y),\qquad u_y(x,y)=-v_x(x,y).}

Passo 3

Para poder aplicar a Laplaciana precisamos de segundas derivadas mistas e usar a igualdade das derivadas mistas (teorema de Clairaut). Como f é holomorfa em uma região aberta, u e v têm derivadas parciais de todas as ordens (na prática: são C^\infty na região), então as segundas derivadas existem e são contínuas, e podemos trocar a ordem das diferenciações: \partial_{xy}=\partial_{yx}. Isso justifica que podemos manipular segundas derivadas livremente.
Sei, portanto, que as derivadas parciais necessárias existem e que
u_{xy}=u_{yx},\qquad v_{xy}=v_{yx}.

Passo 4

Vou calcular a Laplaciana de u:
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}.
Use as Cauchy–Riemann para escrever as segundas derivadas em termos de derivadas de v. Da primeira CR u_x=v_y temos
u_{xx}=(u_x)_x=(v_y)_x=v_{yx}.
Da segunda CR u_y=-v_x temos
u_{yy}=(u_y)_y=(-v_x)_y=-v_{xy}.
Somando as duas equações e usando a igualdade das mistas v_{yx}=v_{xy},
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}=0.
Portanto u satisfaz a equação de Laplace e é harmônica.

Passo 5

Agora faço o mesmo para v. Calcule
\Delta v = v_{xx}+v_{yy}.
Use as Cauchy–Riemann reescritas como v_x=-u_y e v_y=u_x. Da primeira vem
v_{xx}=(v_x)_x=(-u_y)_x=-u_{yx},
e da segunda
v_{yy}=(v_y)_y=(u_x)_y=u_{xy}.
Somando e usando u_{yx}=u_{xy} obtemos
\Delta v = v_{xx}+v_{yy}=-u_{yx}+u_{xy}=0.
Portanto v também satisfaz a equação de Laplace e é harmônica.

Passo 6

Resumo e observação final: a chave foi que holomorfia implica as equações de Cauchy–Riemann e regularidade suficiente para trocar derivadas mistas; combinando tudo obtemos \Delta u=0 e \Delta v=0. Logo as partes real e imaginária de f são funções harmônicas.

Resposta

As partes real u(x,y) e imaginária v(x,y) de f satisfazem
u_{xx}+u_{yy}=0
e
v_{xx}+v_{yy}=0,
ou seja, u e v são harmônicas.

Exercícios relacionados