Uma função real
de duas variáveis reais é chamada de função harmônica quando satisfaz a equação de Laplace
Mostre que as partes real e imaginária de uma função holomorfa são funções harmônicas.
Passo 1
O enunciado pede que eu mostre que as partes real e imaginária de uma função holomorfa são funções harmônicas.
Informações dadas e o que precisa ser provado:
Informações dadas e o que precisa ser provado:
- Suponha que
é uma função holomorfa numa região do plano complexo. - Escrevemos
como
onde
é a parte real e
a parte imaginária, ambas funções reais de
.
- A definição de função harmônica é que uma função
satisfaz a equação de Laplace
O objetivo: provar que
e
satisfazem a equação de Laplace (ou seja, que são harmônicas).
Passo 2
Lembrando a definição de holomorfia e derivada complexa:
é holomorfa no ponto
se o limite
existe (e é o mesmo independentemente da direção pela qual
tende a
). Vou usar isso escolhendo duas direções diferentes para
: a direção real e a direção imaginária. Isso nos dará as equações de Cauchy–Riemann, que ligam
e
.
Calcule a derivada aproximando por incrementos reais
. Tomando
real,
Agora aproxime por incrementos imaginários
com
e
:
O numerador é
, então dividindo por
e passando ao limite obtemos
Como
, isso é igual a
Como
existe e é independente da direção, as duas expressões para o limite devem ser iguais:
Igualando partes real e imaginária desta igualdade obtemos as equações de Cauchy–Riemann:
Passo 3
Para poder aplicar a Laplaciana precisamos de segundas derivadas mistas e usar a igualdade das derivadas mistas (teorema de Clairaut). Como
é holomorfa em uma região aberta,
e
têm derivadas parciais de todas as ordens (na prática: são
na região), então as segundas derivadas existem e são contínuas, e podemos trocar a ordem das diferenciações:
. Isso justifica que podemos manipular segundas derivadas livremente.
Sei, portanto, que as derivadas parciais necessárias existem e que
Passo 4
Vou calcular a Laplaciana de
:
Use as Cauchy–Riemann para escrever as segundas derivadas em termos de derivadas de
. Da primeira CR
temos
Da segunda CR
temos
Somando as duas equações e usando a igualdade das mistas
,
Portanto
satisfaz a equação de Laplace e é harmônica.
Passo 5
Agora faço o mesmo para
. Calcule
Use as Cauchy–Riemann reescritas como
e
. Da primeira vem
e da segunda
Somando e usando
obtemos
Portanto
também satisfaz a equação de Laplace e é harmônica.
Passo 6
Resumo e observação final: a chave foi que holomorfia implica as equações de Cauchy–Riemann e regularidade suficiente para trocar derivadas mistas; combinando tudo obtemos
e
. Logo as partes real e imaginária de
são funções harmônicas.
Resposta
As partes real
e imaginária
de
satisfazem
e
ou seja,
e
são harmônicas.