Sabemos que o potencial eletrostático
satisfaz a equação de Laplace em 3 dimensões
Em muitos casos de interesse, o potencial independe da variável
. Mostre que, neste caso, a parte real de qualquer função holomorfa pode servir de solução para o potencial eletrostático.
Passo 1
O enunciado dá a equação de Laplace em 3 dimensões
e supõe que o potencial é independente de
.
A pergunta é: mostre que, nesse caso, a parte real de qualquer função holomorfa pode servir como solução para o potencial eletrostático.
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: mostre que, nesse caso, a parte real de qualquer função holomorfa pode servir como solução para o potencial eletrostático.
Informações relevantes fornecidas:
-
satisfaz . -
independe de , logo . - Queremos usar a parte real de uma função holomorfa (função complexa diferenciável) como candidato para
.
Passo 2
Primeiro precisamos entender o que é uma função holomorfa e como escrevê-la em termos de
e
. Seja uma função holomorfa
definida numa região do plano complexo. Escrevemos a variável complexa como
e decompondo
em parte real e imaginária temos
onde
e
são funções reais de duas variáveis. Aqui
é a parte real de
e é o candidato a potencial
. Explico o que “holomorfa” garante: ser holomorfa significa ser complexamente diferenciável em cada ponto da região, e isso implica que
e
têm derivadas parciais bem comportadas (pelo menos contínuas) e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann (que vamos usar a seguir).
Passo 3
As equações de Cauchy–Riemann são as condições que
e
satisfazem quando
é holomorfa. Elas são
onde
,
, etc. Vou explicar cada símbolo:
é a derivada parcial de
em relação a
, isto é, a taxa de variação de
quando mexemos só em
. Essas duas igualdades relacionam as derivadas parciais de
com as de
.
Passo 4
Agora calculamos a laplaciana de
(lembrando que queremos
e
neste contexto). A laplaciana em duas variáveis é
Vamos obter
a partir das equações de Cauchy–Riemann. Diferenciando a primeira equação
em relação a
obtemos
Diferenciando a segunda equação
em relação a
obtemos
Somando essas duas igualdades:
Aqui usamos notação do tipo
e
.
Passo 5
Por que
? Porque, para funções suficientemente regulares (no caso,
e
são
quando
é holomorfa), as derivadas parciais mistas são iguais (teorema de Clairaut / igualdade das derivadas cruzadas). Portanto
e assim
Concluímos que
é uma função harmônica em duas variáveis.
Passo 6
Agora conectamos isso com a hipótese do problema: como
independe de
, a equação de Laplace em 3D para
reduz-se a
Portanto, qualquer função
que seja harmônica em duas variáveis (i.e., que satisfaça
) é solução da equação de Laplace em 3D sob a hipótese de independência em
. Como acabamos de mostrar, a parte real
de toda função holomorfa é harmônica, logo serve como potencial eletrostático quando o potencial não depende de
.
Passo 7
Para firmar com um exemplo rápido que ajuda a memorizar: tome
. Escrevendo
,
a parte real é
. Calculando a laplaciana:
confirmando que
é harmônica. Isso mostra concretamente como pegar uma holomorfa e obter um potencial válido. Você consegue imaginar isso como pegar “um desenho” no plano complexo cuja parte real não tem fontes nem sumidouros (é harmônica) — perfeita para ser um potencial eletrostático independente de
.
Resposta
A parte real de qualquer função holomorfa é harmônica, isto é, satisfaz
; portanto, quando
independe de
, essa parte real satisfaz
e pode servir como potencial eletrostático.