Sabemos que o potencial eletrostático \varphi satisfaz a equação de Laplace em 3 dimensões
\Delta \varphi=\nabla^{2} \varphi=\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}}=0 .
Em muitos casos de interesse, o potencial independe da variável z. Mostre que, neste caso, a parte real de qualquer função holomorfa pode servir de solução para o potencial eletrostático.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Laplace em 3 dimensões
\Delta \varphi=\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial z^{2}}=0
e supõe que o potencial é independente de z.
A pergunta é: mostre que, nesse caso, a parte real de qualquer função holomorfa pode servir como solução para o potencial eletrostático.
Informações relevantes fornecidas:
  • \varphi satisfaz \Delta\varphi=0.
  • \varphi independe de z, logo \varphi=\varphi(x,y).
  • Queremos usar a parte real de uma função holomorfa (função complexa diferenciável) como candidato para \varphi.

Passo 2

Primeiro precisamos entender o que é uma função holomorfa e como escrevê-la em termos de x e y. Seja uma função holomorfa f definida numa região do plano complexo. Escrevemos a variável complexa como
z = x + i y,
e decompondo f em parte real e imaginária temos
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),
onde u e v são funções reais de duas variáveis. Aqui u(x,y) é a parte real de f e é o candidato a potencial \varphi. Explico o que “holomorfa” garante: ser holomorfa significa ser complexamente diferenciável em cada ponto da região, e isso implica que u e v têm derivadas parciais bem comportadas (pelo menos contínuas) e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann (que vamos usar a seguir).

Passo 3

As equações de Cauchy–Riemann são as condições que u e v satisfazem quando f é holomorfa. Elas são
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x,
onde u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}, u_y=\dfrac{\partial u}{\partial y}, etc. Vou explicar cada símbolo: u_x é a derivada parcial de u em relação a x, isto é, a taxa de variação de u quando mexemos só em x. Essas duas igualdades relacionam as derivadas parciais de u com as de v.

Passo 4

Agora calculamos a laplaciana de u (lembrando que queremos \Delta \varphi=0 e \varphi=u neste contexto). A laplaciana em duas variáveis é
\Delta_{2} u = u_{xx}+u_{yy}.
Vamos obter u_{xx}+u_{yy} a partir das equações de Cauchy–Riemann. Diferenciando a primeira equação u_x = v_y em relação a x obtemos
u_{xx} = v_{yx}.
Diferenciando a segunda equação u_y = -v_x em relação a y obtemos
u_{yy} = -v_{xy}.
Somando essas duas igualdades:
u_{xx}+u_{yy} = v_{yx}-v_{xy}.
Aqui usamos notação do tipo v_{yx}=\dfrac{\partial^2 v}{\partial y\partial x} e v_{xy}=\dfrac{\partial^2 v}{\partial x\partial y}.

Passo 5

Por que v_{yx}-v_{xy}=0? Porque, para funções suficientemente regulares (no caso, u e v são C^2 quando f é holomorfa), as derivadas parciais mistas são iguais (teorema de Clairaut / igualdade das derivadas cruzadas). Portanto
v_{yx}=v_{xy}
e assim
u_{xx}+u_{yy}=0.
Concluímos que u é uma função harmônica em duas variáveis.

Passo 6

Agora conectamos isso com a hipótese do problema: como \varphi independe de z, a equação de Laplace em 3D para \varphi(x,y) reduz-se a
\Delta\varphi = \varphi_{xx}+\varphi_{yy}+\varphi_{zz} = \varphi_{xx}+\varphi_{yy}+0 = \Delta_{2}\varphi.
Portanto, qualquer função \varphi(x,y) que seja harmônica em duas variáveis (i.e., que satisfaça \varphi_{xx}+\varphi_{yy}=0) é solução da equação de Laplace em 3D sob a hipótese de independência em z. Como acabamos de mostrar, a parte real u de toda função holomorfa é harmônica, logo serve como potencial eletrostático quando o potencial não depende de z.

Passo 7

Para firmar com um exemplo rápido que ajuda a memorizar: tome f(z)=z^{2}. Escrevendo z=x+iy,
f(z)=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+i(2xy),
a parte real é u(x,y)=x^{2}-y^{2}. Calculando a laplaciana:
u_{xx}=2,\qquad u_{yy}=-2\quad\Rightarrow\quad u_{xx}+u_{yy}=0,
confirmando que u é harmônica. Isso mostra concretamente como pegar uma holomorfa e obter um potencial válido. Você consegue imaginar isso como pegar “um desenho” no plano complexo cuja parte real não tem fontes nem sumidouros (é harmônica) — perfeita para ser um potencial eletrostático independente de z.

Resposta

A parte real de qualquer função holomorfa é harmônica, isto é, satisfaz \varphi_{xx}+\varphi_{yy}=0; portanto, quando \varphi independe de z, essa parte real satisfaz \Delta\varphi=0 e pode servir como potencial eletrostático.

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