Caracterize as seguintes funções como sobrejetora, injetora, bijetora, ou nenhuma delas:
(a)
bijetora;
(a)
Passo 1
O enunciado pede para a gente classificar a função f: ℝ → ℝ dada por f(x)=3x+5 como injetora, sobrejetora ou bijetora. Vamos usar os conceitos de injeção (valores distintos de x dão valores distintos de f(x)) e de sobrejeção (para todo y em ℝ existe x tal que f(x)=y).
Passo 2
Para mostrar que f é injetora, suponha que f(x₁)=f(x₂). Isso significa que 3x₁+5 = 3x₂+5. Subtraindo 5 de ambos os lados e dividindo por 3, obtemos x₁ = x₂. Como não há dois pontos diferentes que mapeiem para o mesmo valor, f é injetora.
Passo 3
Para mostrar que f é sobrejetora, pegue um y arbitrário em ℝ. Queremos achar x tal que f(x)=y, ou seja, 3x+5=y. Basta isolar x: x = (y−5)/3. Esse x pertence a ℝ e satisfaz f(x)=y, logo f é sobrejetora.
Passo 4
Como f é simultaneamente injetora e sobrejetora, concluímos que f é bijetora.
Resposta
bijetora