Caracterize as seguintes funções como sobrejetora, injetora, bijetora, ou nenhuma delas:
(d) varphi:x in R / x >= 0 R, varphi(x)=53 x^2 injetora.

Passo 1

Temos a função varphi:xinRmid x>=0toR definida por varphi(x)=53x^2. Vamos verificar injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Para testar injetividade, consideramos varphi(x1)=varphi(x2). Isso dá
53x1^2=53x2^2, logo
x1^2=x2^2.
Como x1 e x2 estão em [0,infty), concluímos x1=x2. Portanto, varphi é injetora.

Passo 3

Para testar sobrejetividade, note que o contradomínio é R, mas varphi(x)=tfrac53x^2>=0 para todo x>=0. Assim, valores negativos não têm antecedente, logo não é sobrejetora.

Passo 4

Concluímos que varphi é injetora, mas não sobrejetora.

Resposta

A função é injetora, mas não sobrejetora.

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