Se f(x)=a x+bx-a, mostre que f(f(x))=x.

Passo 1

O enunciado diz: seja a função racional f(x)=a x+bx-a. Precisamos mostrar que, ao aplicá-la duas vezes (ou seja, calcular f(f(x))), obtemos de volta x. O tema aqui é composição de funções racionais e simplificação algébrica.

Passo 2

Escrevendo f(f(x)):
f(f(x))= acdota x+bx-a+ba x+bx-a-a

Passo 3

No numerador, aplicamos a distributiva e colocamos tudo sobre o mesmo denominador (x-a):
Num = acdota x+bx-a+b = a(a x+b)x-a+b(x-a)x-a=a^2x+ab+bx-abx-a=(a^2+b)xx-a

Passo 4

No denominador, fazemos o mesmo passo a passo:
Den = a x+bx-a-a=a x+bx-a-a(x-a)x-a=a x+b -a x +a^2x-a=a^2+bx-a

Passo 5

Agora substituímos Numerador e Denominador em f(f(x)) e simplificamos:
f(f(x))=(a^2+b)xx-aa^2+bx-a=x

Passo 6

Assim, de fato f(f(x))=x.

Resposta

x

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