Resolva as inequações:
|x-3|+|x+2|<11

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Aqui estamos lidando com valores absolutos, que basicamente medem a distância de um número em relação a zero na reta numérica. Para resolver esse tipo de inequação, vamos precisar dividir o problema em partes, considerando onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos ficam iguais a zero, ou seja, onde x - 3 = 0 Rightarrow x = 3 e x + 2 = 0 Rightarrow x = -2 . Resolvendo essas equações:
Esses pontos, e , dividem a reta numérica em três intervalos:

Passo 3

Vamos resolver a inequação em cada um desses intervalos, removendo os valores absolutos de acordo com o sinal das expressões dentro deles.
Intervalo 1: |x-3| = -(x-3) = -x + 3
Aqui, |x+2| = -(x+2) = -x - 2 e - x + 3 - x - 2 < 11 . Portanto:
-2x + 1 < 11
-2x < 10 Rightarrow x > -5
Substituindo na inequação:
-5 < x < -2
|x-3| = -(x-3) = -x + 3
|x+2| = x + 2
Como estamos no intervalo - x + 3 + x + 2 < 11 , a solução aqui é:
5 < 11
Intervalo 2: |x-3| = x - 3
Aqui, |x+2| = x + 2 e x - 3 + x + 2 < 11 . Portanto:
2x - 1 < 11
2x < 12 Rightarrow x < 6
Substituindo na inequação:
3 <= x < 6
Essa desigualdade é sempre verdadeira, então todo o intervalo satisfaz a inequação.
Intervalo 3:
Aqui, e . Portanto:
Substituindo na inequação:
Como estamos no intervalo , a solução aqui é:

Resposta

A solução da inequação -5 < x < 6 é:

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