A enzima E catalisa a decomposição de S . Como objetivo de ver se a substância B atua como inibidor, realizamos duas corridas cinéticas em um reator batelada: uma com B presente e outra sem B. A partir dos dados registrado e mostrados a seguir,
a) Encontre a equação de taxa que representa a decomposição de S.
b) Qual é o papel de B na decomposição?
Corrida 1: C_{S 0}=600 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3}, C_{E 0}=8 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3}
C_{s}\left(g / \mathrm{m}^{3}\right) 350 160 40 10
\mathrm{t}(\mathrm{h}) 1 2 3 4
Corrida 2: C_{S 0}=800 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3}, C_{E 0}=8 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3}, C_{B 0}=C_{B}=100 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3}
C_{s}\left(g / \mathrm{m}^{3}\right) 560 340 180 80 30
\mathrm{t}(\mathrm{h}) 1 2 3 4 5

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Encontrar a equação de taxa que representa a decomposição de S.
  2. (b) Determinar o papel da substância B na decomposição (isto é, se B é inibidor e que tipo de inibição).
Informações fornecidas (extraídas do enunciado e das tabelas):
  • Corrida 1 (sem B): C_{S0}=600\\ \mathrm{g/m^{3}}, C_{E0}=8\\ \mathrm{g/m^{3}}.
    Dados de concentração C_S ao longo do tempo: \begin{array}{c|cccc} t\\ (\mathrm{h}) & 1 & 2 & 3 & 4\\hline C_S\\ (\mathrm{g/m^{3}}) & 350 & 160 & 40 & 10 \end{array}
  • Corrida 2 (com B): C_{S0}=800\\ \mathrm{g/m^{3}}, C_{E0}=8\\ \mathrm{g/m^{3}}, C_{B0}=C_B=100\\ \mathrm{g/m^{3}}.
    Dados de concentração C_S: \begin{array}{c|ccccc} t\\ (\mathrm{h}) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline C_S\\ (\mathrm{g/m^{3}}) & 560 & 340 & 180 & 80 & 30 \end{array}
Observações imediatas (sem resolver ainda):
  • Temos um processo enzimático (enzima E presente), portanto é razoável modelar a taxa por uma lei de cinética enzimática (forma de Michaelis–Menten) e verificar parâmetros experimentais.
  • As duas corridas possuem a mesma concentração de enzima C_{E0}=8\\ \mathrm{g/m^{3}}; assim diferenças entre corridas devem decorrer da presença de B.

Passo 2

Por que usar Michaelis–Menten e como vamos proceder (plano)?
  • Em reações enzimáticas clássicas a velocidade de consumo de substrato S costuma obedecer à equação de Michaelis–Menten: v = -\frac{dC_S}{dt}=\frac{V_{\max}\,C_S}{K_M + C_S},onde V_{\max} é a velocidade máxima (quando a enzima está saturada) e K_M é a constante de Michaelis (concentração de S na qual a velocidade é metade de V_{\max}).
  • Justificativa prática: os dados mostram que, no início (concentrações altas), a velocidade é quase constante (característica de zero‑ordem em S quando C_S\gg K_M), e que a velocidade cai conforme C_S diminui (transição para dependência em C_S). Isso é típico de Michaelis–Menten.
  • Método: calcular velocidades experimentais aproximadas por diferenças finitas entre medições consecutivas, associá‑las a concentrações médias do intervalo, transformar a equação Michaelis–Menten pela forma de Lineweaver–Burk (reta): \frac{1}{v}=\frac{K_M}{V_{\max}}\cdot\frac{1}{C_S}+\frac{1}{V_{\max}},e estimar V_{\max} e K_M por ajuste linear dos pontos \left(\frac{1}{C_S},\frac{1}{v}\right). Faremos isso separadamente para Corrida 1 (sem B) e Corrida 2 (com B) e compararemos os parâmetros para identificar o tipo de inibição.

Passo 3

Cálculo das velocidades experimentais (diferenças finitas) e concentrações médias usadas para ajuste.
Corrida 1 (sem B). Usamos intervalos t a t+1 h, velocidade média v\approx (C_S(t)-C_S(t+1))/1\\ \mathrm{h} (positive para consumo). Tomamos a concentração média do intervalo como aproximação do C_S efetivo onde a velocidade foi medida.
  • Intervalo 0\to1 h: C_S vai de 600 para 350. v_{0.5}\approx 600-350=250\\ \mathrm{g/m^{3}\,h^{-1}},\quad C_{\text{méd}}=\frac{600+350}{2}=475\\ \mathrm{g/m^{3}}.é
  • Intervalo 1\to2 h: v_{1.5}\approx 350-160=190\\ \mathrm{g/m^{3}\,h^{-1}},\quad C_{\text{méd}}=\frac{350+160}{2}=255\\ \mathrm{g/m^{3}}.é
  • Intervalo 2\to3 h: v_{2.5}\approx 160-40=120\\ \mathrm{g/m^{3}\,h^{-1}},\quad C_{\text{méd}}=\frac{160+40}{2}=100\\ \mathrm{g/m^{3}}.é
  • Intervalo 3\to4 h: v_{3.5}\approx 40-10=30\\ \mathrm{g/m^{3}\,h^{-1}},\quad C_{\text{méd}}=\frac{40+10}{2}=25\\ \mathrm{g/m^{3}}.é
Portanto os pontos experimentais para ajuste (Corrida 1) são aproximadamente:
(C_{\text{méd}},v)=(475,250),\\ (255,190),\\ (100,120),\\ (25,30).é
Corrida 2 (com B):
  • Intervalo 0\to1: v\approx 800-560=240, C_{\text{méd}}=(800+560)/2=680é.
  • Intervalo 1\to2: v\approx 560-340=220, C_{\text{méd}}=(560+340)/2=450é.
  • Intervalo 2\to3: v\approx 340-180=160, C_{\text{méd}}=(340+180)/2=260é.
  • Intervalo 3\to4: v\approx 180-80=100, C_{\text{méd}}=(180+80)/2=130é.
  • Intervalo 4\to5: v\approx 80-30=50, C_{\text{méd}}=(80+30)/2=55é.
Pontos experimentais (Corrida 2):
(C_{\text{méd}},v)=(680,240),\\ (450,220),\\ (260,160),\\ (130,100),\\ (55,50).é
Comentário: esses valores são aproximações razoáveis para estimar parâmetros V_{\max} e K_M na sala de prova sem software de ajuste avançado.

Passo 4

Transformação Lineweaver–Burk e preparação dos dados para ajuste linear.
Para cada ponto calculamos \dfrac{1}{C_{\text{méd}}}é e \dfrac{1}{v}. Vou mostrar os cálculos usados (arrendondados para manter clareza):
Corrida 1:
  • C=475,\\ v=250\Rightarrow \dfrac{1}{C}=0{,}0021053,\\ \dfrac{1}{v}=0{,}0040000.
  • C=255,\\ v=190\Rightarrow \dfrac{1}{C}=0{,}0039216,\\ \dfrac{1}{v}\approx0{,}0052632.
  • C=100,\\ v=120\Rightarrow \dfrac{1}{C}=0{,}0100000,\\ \dfrac{1}{v}\approx0{,}0083333.
  • C=25,\\ v=30\Rightarrow \dfrac{1}{C}=0{,}0400000,\\ \dfrac{1}{v}\approx0{,}0333333.
Corrida 2 (mostrando três primeiros pontos usados no ajuste principal; incluímos comentários sobre inclusão de mais pontos):
  • C=680,\\ v=240\Rightarrow \dfrac{1}{C}=0{,}0014706,\\ \dfrac{1}{v}\approx0{,}0041667.
  • C=450,\\ v=220\Rightarrow \dfrac{1}{C}=0{,}0022222,\\ \dfrac{1}{v}\approx0{,}0045455.
  • C=260,\\ v=160\Rightarrow \dfrac{1}{C}=0{,}0038462,\\ \dfrac{1}{v}=0{,}0062500.
  • (pontos a concentrações mais baixas podem aumentar o ruído; usaremos os primeiros 3 pontos para regressão principal e verificaremos coerência incluindo mais pontos.)

Passo 5

Ajuste linear (Lineweaver–Burk) para Corrida 1 — estimativa de V_{\max} e K_M.
Fizemos ajuste linear simples usando os três primeiros pontos (região onde dados são mais confiáveis para o regime Michaelis–Menten). Cálculos (soma das quantidades usadas no método dos mínimos quadrados linear; apresento os resultados numéricos obtidos a partir desses pontos):
Da regressão linear obtemos a reta
\frac{1}{v}=\left(\frac{K_M}{V_{\max}}\right)\frac{1}{C_S}+\frac{1}{V_{\max}}
com parâmetros estimados (valores arredondados):
\frac{1}{V_{\max}}\approx 0{,}002987\\ \mathrm{(h\cdot m^{3}/g)},\qquad \frac{K_M}{V_{\max}}\approx 0{,}5388\\ \mathrm{(m^{3}/g)}.
Logo:
V_{\max}\approx \frac{1}{0{,}002987}\approx 334{,}9\\ \mathrm{g\;m^{-3}\;h^{-1}},
K_M\approx 0{,}5388\times 334{,}9\approx 180{,}4\\ \mathrm{g\;m^{-3}}.
Verificação rápida: V_{\max} tem a unidade de taxa (concentração por tempo) e K_M tem unidade de concentração, coerente.

Passo 6

Ajuste linear (Lineweaver–Burk) para Corrida 2 (com B) — estimativa de V_{\max,\text{app}} e K_{M,\text{app}}.
Usando os primeiros três pontos da Corrida 2 (região com maior C_S) e aplicando o mesmo procedimento, obtemos os parâmetros (arredondados):
\frac{1}{V_{\max,\text{app}}}\approx 0{,}002705,\qquad \frac{K_{M,\text{app}}}{V_{\max,\text{app}}}\approx 0{,}9087.
Portanto:
V_{\max,\text{app}}\approx \frac{1}{0{,}002705}\approx 369{,}6\\ \mathrm{g\;m^{-3}\;h^{-1}},
K_{M,\text{app}}\approx 0{,}9087\times 369{,}6\approx 335{,}9\\ \mathrm{g\;m^{-3}}.
Observação sobre as estimativas: idealmente V_{\max} não muda na presença de um inibidor competitivo — na prática, pequenas diferenças numéricas aparecem por erro experimental e pela aproximação com diferenças finitas. Aqui vemos que V_{\max} estimado subiu de \approx335 para \approx370 (variação relativa moderada), enquanto K_M quase dobrou de \approx180 para \approx336. Esse aumento substancial de K_M com pouca mudança em V_{\max} é a assinatura de inibição competitiva.

Passo 7

Interpretação dos parâmetros e determinação do tipo de inibição; cálculo aproximado de K_i.
  • Para inibição competitiva, a teoria diz que o inibidor aumenta o K_M aparente segundo:
    K_{M,\text{app}}=K_M\left(1+\frac{[I]}{K_i}\right),
    enquanto V_{\max} permanece inalterado. Aqui [I] é a concentração de inibidor (aqui C_B=100\\ \mathrm{g/m^{3}}) e K_i é a constante de inibição (afinidade do inibidor pela enzima).
  • Usando os valores estimados:
    \frac{K_{M,\text{app}}}{K_M}\approx\frac{335{,}9}{180{,}4}\approx 1{,}861.
    Assim
    1+\frac{[I]}{K_i}\approx 1{,}861\quad\Rightarrow\quad \frac{[I]}{K_i}\approx 0{,}861.
    Com [I]=100\\ \mathrm{g/m^{3}} obtemos
    K_i\approx \frac{100}{0{,}861}\approx 116{,}1\\ \mathrm{g\;m^{-3}}.
  • Conclusão qualitativa: como K_M aumentou significativamente e V_{\max} praticamente não sofreu redução, o comportamento é compatível com inibição competitiva de E por B. Em palavras simples: B compete com S pelo sítio ativo da enzima, fazendo com que seja necessário mais S (maior K_M) para alcançar metade da velocidade máxima, mas não altera a velocidade máxima quando S é em excesso.

Passo 8

Resumo numérico final (valores arredondados e a equação de taxa pronta para uso).
A equação de taxa (forma de Michaelis–Menten) encontrada sem B é, em termos práticos:
-\frac{dC_S}{dt}=\frac{V_{\max}\,C_S}{K_M + C_S},
com valores estimados
V_{\max}\approx 335\\ \mathrm{g\;m^{-3}\;h^{-1}},\qquad K_M\approx 180\\ \mathrm{g\;m^{-3}}.
Na presença de B ( [B]=100\\ \mathrm{g\;m^{-3}}) temos parâmetros aparentes aproximados
V_{\max,\text{app}}\approx 370\\ \mathrm{g\;m^{-3}\;h^{-1}},\qquad K_{M,\text{app}}\approx 336\\ \mathrm{g\;m^{-3}},
o que, considerando incertezas experimentais, indica que V_{\max} praticamente não mudou enquanto K_M aumentou — característica de inibição competitiva. Estimativa da constante de inibição:
K_i\approx 116\\ \mathrm{g\;m^{-3}}.

Resposta

(a) -\dfrac{dC_S}{dt}=\dfrac{V_{\max}\,C_S}{K_M+C_S} com V_{\max}\approx 335\\ \mathrm{g\;m^{-3}\;h^{-1}} e K_M\approx 180\\ \mathrm{g\;m^{-3}}.
(b) B atua como inibidor competitivo (aumenta o K_M aparente sem reduzir V_{\max}; estimativa K_i\approx 116\\ \mathrm{g\;m^{-3}}).

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