O carbono-14 é um isótopo radioativo natural do elemento carbono presente em todos os organismos vivos. Enquanto um organismo permanece vivo, a relação quantitativa entre o carbono-14 e o carbono-12 permanece constante. O químico norte-americano Willard Libbs descobriu nos anos 50 que, a partir da morte do organismo, o carbono- 14 se transforma em carbono-12 a uma taxa proporcional à quantidade de carbono-14 existente. O carbono-14 é, dentre os isótopos estáveis do carbono, aquele que possui a maior meia-vida: 5730 anos.
Arqueólogos utilizaram pedaços de madeira queimada encontrados no local para datar pinturas e desenhos pré-históricos nas paredes e tetos de uma caverna em Lascaux, França. Determine a idade aproximada de um pedaço de madeira queimada, caso tenha sido constatado que 85,5 % do carbono-14 presente em árvores vivas do mesmo tipo tenha se decomposto.

Passo 1

O enunciado trata de decaimento radioativo do carbono-14, cuja meia-vida é 5730 anos, e pergunta a idade de um pedaço de madeira em que 85,5% do carbono-14 original já se decompôs. Vamos usar o modelo de decaimento exponencial para resolver.

Passo 2

Em decaimento radioativo, a quantidade de isótopo que resta após tempo t é dada por
N(t)=N0cdot(tfrac12)^t/T1/2
onde N0 é a quantidade inicial e T1/2=5730 anos é a meia-vida do carbono-14.

Passo 3

Como 85,5% do carbono-14 original já desapareceu, a fração que resta é
N(t)N0=1-0,855=0,145

Passo 4

Substituindo essa fração na fórmula de decaimento, temos
0,145=(tfrac12)^t/5730

Passo 5

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados e isolando t:
ln(0,145)=t5730lnl(tfrac12r)
t=5730cdotln(0,145)ln(1/2)

Passo 6

Calculando os logaritmos:
ln(0,145)approx-1,9315, lnl(tfrac12r)=-0,6931
Logo,
tapprox5730times-1,9315-0,6931approx15977 anos

Passo 7

Arredondando para um valor significativo, a idade aproximada é de 1,6\times10^4 anos.

Resposta

A idade aproximada do pedaço de madeira é 1,6\times10^{4} anos.

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