integral0^1 x^2(x+1)^2 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular a integral definida integral0^1 x^2(x+1)^2,dx. O conteúdo é integração de funções racionais, e vamos precisar usar divisão polinomial (ou expansão) para decompor x^2/(x+1)^2 em termos mais fáceis de integrar: constantes, 1/(x+1) e 1/(x+1)^2.

Passo 2

Para reescrever o numerador, note que x = (x+1)-1. Logo,
x^2 = l((x+1)-1r)^2 = (x+1)^2 -2(x+1) +1
Isso nos dá a decomposição da fração:
x^2(x+1)^2 = (x+1)^2 -2(x+1) +1(x+1)^2 = 1 - 2x+1 + 1(x+1)^2

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integral0^1 1,dx = [x]0^1 = 1
-2integral0^1 1x+1,dx = -2[ln(x+1)]0^1 = -2(ln 2 - ln 1) = -2ln 2
integral0^1 1(x+1)^2,dx = l[-1x+1r]0^1 = l(-tfrac12r) - l(-1r) = tfrac12

Passo 4

Juntando tudo, a integral vale
1 -2ln 2 + tfrac12 = tfrac32 -2ln 2

Resposta

tfrac32 -2ln 2

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