Calcule a derivada da função dada:
g(t)=(t, t^2, 2 t^2) cdot (e^t, cos (t), ln (t))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de uma função escalar g(t) que surge do produto escalar entre dois vetores de funções:
g(t)=l(t,;t^2,;2t^2r)cdotl(e^t,;cos t,;ln tr)
O conteúdo envolvido é produto escalar de funções vetoriais e, em seguida, derivação de soma de produtos de funções (regra do produto e soma), além das derivadas de e^t, cos t e ln t.

Passo 2

Primeiro a gente expande o produto escalar para obter g(t) como soma de funções escalares:
g(t)=t,e^t;+ ;t^2cos t;+ ;2t^2ln t

Passo 3

Agora aplicamos a derivada termo a termo, usando a regra do produto sempre que for necessário:
  • Para t,e^t: ddtl(t,e^tr)=1cdot e^t+tcdot e^t=e^t+t,e^t
  • Para t^2cos t: ddtl(t^2cos tr)=2tcos t + t^2(-sin t)=2tcos t - t^2sin t
  • Para 2t^2ln t, fatoramos o 2 e derivamos t^2ln t: ddtl(t^2ln tr)=2tln t + t^2cdot1t=2tln t + t, portanto ddtl(2t^2ln tr)=2l(2tln t + tr)=4tln t + 2t

Passo 4

Por fim, somamos todas as derivadas parciais para obter g’(t):
g'(t)=l(e^t+t,e^tr)+l(2tcos t - t^2sin tr)+(4tln t + 2t)
Se quiser, dá pra agrupar o e^t: (1+t)e^t.

Passo 5

A gente pode reorganizar levemente para dar aquela polida final na expressão, mas já tá tudo aí!

Resposta

g'(t)=(1+t)e^t+2tcos t - t^2sin t + 4tln t + 2t

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