Questão 3 Determine se as sequências convergem ou divergem:
an=cos (1n).

Passo 1

O enunciado define a sequência an=cosl(tfrac1nr) e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o conceito de limite de sequência e a aplicação da continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, analisamos a sequência interna tfrac1n. Sabemos que
limntoinfty1n=0
porque, à medida que n cresce sem limite, o valor de tfrac1n diminui até zero.

Passo 3

Em seguida, usamos que a função cos(x) é contínua em todo R. Pela propriedade de continuidade, podemos “passar o limite” para dentro da função:
limntoinftyan = limntoinftycosl(tfrac1nr) = cos!l(limntoinftytfrac1nr) = cos(0) = 1

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan=1.

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