para a cardioide r=2+2 cos theta: Encontre o coeficiente angular da tangente em theta=pi / 6.

Passo 1

O enunciado dá uma cardioide em coordenadas polares com equação r = 2 + 2 cos θ e pede a inclinação da reta tangente no ponto em que θ = π/6. Vamos usar derivação em coordenadas polares para achar dy/dx.

Passo 2

Em coordenadas polares temos x = r cos θ e y = r sin θ. A inclinação da tangente é dy/dx dada por
dydx = dydthetadxdtheta
E as derivadas paramétricas em θ são
dxdtheta = drdthetacostheta - rsintheta,
dydtheta = drdthetasintheta + rcostheta

Passo 3

Para calcular dr/dθ, derivamos r = 2 + 2 cos θ em relação a θ. Como derivada de cos θ é −sin θ, temos
drdtheta = -2sintheta

Passo 4

Agora avaliaremos tudo em θ = π/6. Primeiro r(π/6) = 2 + 2 cos(π/6) = 2 + 2·(√3/2) = 2 + √3. E dr/dθ|_{π/6} = -2 sin(π/6) = -2·(1/2) = -1. Além disso sin(π/6)=1/2 e cos(π/6)=√3/2.

Passo 5

Substituindo em dx/dθ e dy/dθ temos:
Numerador:
dydtheta = (-1)·12 + (2+√3)·√32 = -12 + l(√3 + 32r) = 1 + √3
Denominador:
dxdtheta = (-1)·√32 - (2+√3)·12 = -√32 -1 - √32 = -1 - √3

Passo 6

Finalmente a inclinação é o quociente desses valores:
dydx = 1 + √3-1 - √3 = -1

Resposta

-1

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