para a cardioide
: Encontre o coeficiente angular da tangente em
.
Passo 1
O enunciado dá uma cardioide em coordenadas polares com equação r = 2 + 2 cos θ e pede a inclinação da reta tangente no ponto em que θ = π/6. Vamos usar derivação em coordenadas polares para achar dy/dx.
Passo 2
Em coordenadas polares temos x = r cos θ e y = r sin θ. A inclinação da tangente é dy/dx dada por
E as derivadas paramétricas em θ são
Passo 3
Para calcular dr/dθ, derivamos r = 2 + 2 cos θ em relação a θ. Como derivada de cos θ é −sin θ, temos
Passo 4
Agora avaliaremos tudo em θ = π/6. Primeiro r(π/6) = 2 + 2 cos(π/6) = 2 + 2·(√3/2) = 2 + √3. E dr/dθ|_{π/6} = -2 sin(π/6) = -2·(1/2) = -1. Além disso sin(π/6)=1/2 e cos(π/6)=√3/2.
Passo 5
Substituindo em dx/dθ e dy/dθ temos:
Numerador:
Numerador:
Denominador:
Passo 6
Finalmente a inclinação é o quociente desses valores:
Resposta
-1