Dado o ponto P(-1,1) dê as coordenadas polares de P de forma que r seja positivo e theta seja positivo

Passo 1

Beleza! A questão pede para a gente converter as coordenadas cartesianas do ponto $ P(-1, 1) $ para coordenadas polares, garantindo que $ r $ seja positivo e $ \theta $ também seja positivo. Vamos usar conceitos de trigonometria e geometria para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Enquanto as coordenadas cartesianas usam $ x $ e $ y $ para definir a posição de um ponto, as coordenadas polares usam a distância do ponto até a origem, $ r $, e o ângulo $ \theta $ que esse ponto faz com o eixo positivo $ x $.

Passo 3

Para encontrar $ r $, usamos a fórmula:
r
Substituindo os valores de $ x = -1 $ e $ y = 1 $:
r = raizx^2 + y^2
Então, $ r = \sqrt{2} $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ângulo $ \theta $. Podemos usar a função arco-tangente:
theta
Substituindo $ x = -1 $ e $ y = 1 $:
theta = arctan(yx)
Sabemos que $ \arctan(-1) $ dá como resultado x = -1 , mas queremos $ \theta $ positiva.

Passo 5

Como o ponto $ P(-1, 1) $ está no segundo quadrante (pois $ x $ é negativo e $ y $ é positivo), precisamos adicionar $ \pi $ ao ângulo negativo para obter um ângulo positivo:
P(-1, 1)

Resposta

As coordenadas polares de $ P(-1, 1) $ são $ \left( \sqrt{2}, \frac{3\pi}{4} \right) $.

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