Dado o ponto
dê as coordenadas polares de
de forma que
seja positivo e
seja positivo
Passo 1
Beleza! A questão pede para a gente converter as coordenadas cartesianas do ponto $ P(-1, 1) $ para coordenadas polares, garantindo que $ r $ seja positivo e $ \theta $ também seja positivo. Vamos usar conceitos de trigonometria e geometria para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Enquanto as coordenadas cartesianas usam $ x $ e $ y $ para definir a posição de um ponto, as coordenadas polares usam a distância do ponto até a origem, $ r $, e o ângulo $ \theta $ que esse ponto faz com o eixo positivo $ x $.
Passo 3
Para encontrar $ r $, usamos a fórmula:
Substituindo os valores de $ x = -1 $ e $ y = 1 $:
Então, $ r = \sqrt{2} $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o ângulo $ \theta $. Podemos usar a função arco-tangente:
Substituindo $ x = -1 $ e $ y = 1 $:
Sabemos que $ \arctan(-1) $ dá como resultado
, mas queremos $ \theta $ positiva.
Passo 5
Como o ponto $ P(-1, 1) $ está no segundo quadrante (pois $ x $ é negativo e $ y $ é positivo), precisamos adicionar $ \pi $ ao ângulo negativo para obter um ângulo positivo:
Resposta
As coordenadas polares de $ P(-1, 1) $ são $ \left( \sqrt{2}, \frac{3\pi}{4} \right) $.