Encontre a área da região que está dentro do círculo r=1 e fora da cardioide r=1-cos theta. Esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a área da região que está dentro do círculo definido por $ r = 1 $ e fora da cardioide definida por $ r = 1 - \cos \theta $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria em coordenadas polares e cálculo de áreas utilizando integrais. Precisamos entender bem como essas curvas se comportam no plano e identificar os pontos onde elas se interceptam para determinar os limites da nossa área.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar os gráficos das duas curvas para visualizar melhor a região que precisamos calcular.
  • Círculo $ r = 1 $: É um círculo com raio 1 e centro na origem.
  • Cardioide $ r = 1 - \cos \theta $: É uma curva em forma de coração com uma cuspide na direção de $ \theta = 0 $.
Ao plotar ambas as curvas, percebemos que elas se interceptam em dois pontos onde $ \theta = \frac{\pi}{2} $ e $ \theta = \frac{3\pi}{2} $.

Passo 3

Para encontrar a área desejada, precisamos calcular a área dentro do círculo $ r = 1 $ e fora da cardioide $ r = 1 - \cos \theta $. Isso significa que vamos subtrair a área da cardioide da área do círculo no intervalo onde a cardioide está dentro do círculo.
A fórmula para a área em coordenadas polares é:
r = 1
Nesse caso, $ r_{externo} = 1 $ (o círculo) e $ r_{interno} = 1 - \cos \theta $ (a cardioide). Os limites de integração são de $ \frac{\pi}{2} $ a $ \frac{3\pi}{2} $, onde as duas curvas se interceptam.

Passo 4

Vamos montar a integral conforme a fórmula:
A = 12 integralpi2^3pi2 ( 1^2 - (1 - cos theta)^2 ) dtheta
Primeiro, expandimos o termo $ (1 - \cos \theta)^2 $:
(1 - cos theta)^2
Substituindo na integral:
(1 - cos theta)^2 = 1 - 2cos theta + cos^2 theta

Passo 5

Vamos resolver a integral termo a termo:
A = 12 [ integralpi2^3pi2 2cos theta , dtheta - integralpi2^3pi2 cos^2 theta , dtheta ]
Primeiro, calculamos $ \int 2\cos \theta , d\theta $:
integral 2cos theta , dtheta
Agora, para $ \int \cos^2 \theta , d\theta $, usamos a identidade trigonométrica:
integral 2cos theta , dtheta = 2sin theta
Portanto:
integral cos^2 theta , dtheta

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração:
Primeiro termo:
2sin theta |pi2^3pi2 = 2sin ( 3pi2 ) - 2sin ( pi2 ) = 2(-1) - 2(1) = -2 - 2 = -4
Segundo termo:
12 ( theta + sin 2theta2 ) |pi2^3pi2 = 12 [ ( 3pi2 + sin 3pi2 ) - ( pi2 + sin pi2 ) ] = 12 ( 3pi2 - pi2 ) = 12 cdot pi = pi2

Passo 7

Voltando à expressão da área:
A = 12 ( -4 - pi2 ) = 12 ( -4 - pi2 ) = -2 - pi4
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
A = 2 + pi4

Resposta

A área da região desejada é $ 2 + \frac{\pi}{4} $ unidades de área.

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