Encontre a área da região que está dentro do círculo
e fora da cardioide
. Esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a área da região que está dentro do círculo definido por $ r = 1 $ e fora da cardioide definida por $ r = 1 - \cos \theta $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria em coordenadas polares e cálculo de áreas utilizando integrais. Precisamos entender bem como essas curvas se comportam no plano e identificar os pontos onde elas se interceptam para determinar os limites da nossa área.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar os gráficos das duas curvas para visualizar melhor a região que precisamos calcular.
- Círculo $ r = 1 $: É um círculo com raio 1 e centro na origem.
- Cardioide $ r = 1 - \cos \theta $: É uma curva em forma de coração com uma cuspide na direção de $ \theta = 0 $.
Ao plotar ambas as curvas, percebemos que elas se interceptam em dois pontos onde $ \theta = \frac{\pi}{2} $ e $ \theta = \frac{3\pi}{2} $.
Passo 3
Para encontrar a área desejada, precisamos calcular a área dentro do círculo $ r = 1 $ e fora da cardioide $ r = 1 - \cos \theta $. Isso significa que vamos subtrair a área da cardioide da área do círculo no intervalo onde a cardioide está dentro do círculo.
A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Nesse caso, $ r_{externo} = 1 $ (o círculo) e $ r_{interno} = 1 - \cos \theta $ (a cardioide). Os limites de integração são de $ \frac{\pi}{2} $ a $ \frac{3\pi}{2} $, onde as duas curvas se interceptam.
Passo 4
Vamos montar a integral conforme a fórmula:
Primeiro, expandimos o termo $ (1 - \cos \theta)^2 $:
Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral termo a termo:
Primeiro, calculamos $ \int 2\cos \theta , d\theta $:
Agora, para $ \int \cos^2 \theta , d\theta $, usamos a identidade trigonométrica:
Portanto:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Passo 7
Voltando à expressão da área:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região desejada é $ 2 + \frac{\pi}{4} $ unidades de área.