Uma carga de
está distribuída uniformemente em uma esfera dielétrica de raio
. Determine o módulo do campo elétrico
a
do centro da esfera. Considere uma segunda esfera isolante, de mesmo raio, com uma distribuição volumétrica de carga não uniforme e expressa por
, onde r é a distância em relação ao centro da esfera. Determine o campo elétrico para
.
a
Passo 1
O enunciado dá duas situações com esferas isolantes (dielétricas) esféricas de mesmo raio e pede o módulo do campo elétrico em dois pontos distintos. Lista dos dados e perguntas:
- Dados comuns:
- Carga total da primeira esfera:
. - Raio das esferas:
. - Constante do vácuo:
(usaremos o valor numérico quando necessário).
- Carga total da primeira esfera:
- Primeira pergunta (esfera com carga uniformemente distribuída):
- Determinar o módulo do campo elétrico a
do centro.
- Determinar o módulo do campo elétrico a
- Segunda pergunta (esfera com densidade não uniforme):
- A densidade volumétrica é
, onde . - Determinar o módulo do campo elétrico para
.
- A densidade volumétrica é
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar: Lei de Gauss para simetria esférica — explicação didática.
- A Lei de Gauss diz que, para uma superfície fechada, o fluxo elétrico total é igual à carga total envolvida dividido por
. Para um caso com simetria esférica, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio centrada na esfera carregada. A vantagem é que o campo na superfície tem módulo constante e direção radial, então a lei vira uma relação simples entre e a carga envolvida . - A fórmula que usamos é
- Como
é radial e constante sobre a esfera gaussiana, o fluxo é . Portanto
ou isolando
,
- Aqui:
-
é o módulo do campo elétrico na distância do centro. -
é a carga total contida dentro da esfera de raio . -
é a permissividade do vácuo.
-
Nos próximos passos vamos calcular
para cada distribuição e aplicar essa fórmula.
Passo 3
Primeira situação — esfera com carga uniformemente distribuída.
- Em uma distribuição volumétrica uniforme, a densidade volumétrica
é constante e dado por . Mas não precisamos escrever explicitamente: a carga contida numa esfera de raio é proporcional ao volume até , isto é
- Substituindo na fórmula do campo:
- Esta é uma consequência física importante: dentro de uma esfera uniformemente carregada o campo cresce linearmente com
(proporcional a ). - Agora substituímos os números para
: -
. -
então . - Usamos
.
-
- Calculemos passo a passo:
- Resultado com três algarismos significativos:
.
Passo 4
Segunda situação — densidade não uniforme
.
- Vamos calcular a carga dentro de uma esfera de raio
integrando a densidade volumétrica:
onde
é a variável de integração (distância radial). Aqui
e
.
- Substituindo:
- Calcule a integral:
- Logo
- Agora aplicamos a fórmula do campo:
- Observação: o fator
cancelou, resultando numa expressão simples. Aqui é bom interpretar: para essa distribuição , o campo dentro cresce como . - Agora avaliamos para
. Substitua :
- Substituímos os valores numéricos:
-
. -
. -
.
-
- Calcule o numerador:
- Denominador:
- Dividindo:
- Resultado com três algarismos significativos:
.