Uma carga de 6,00 \mathrm{pC} está distribuída uniformemente em uma esfera dielétrica de raio \mathrm{R}= 4,00 \mathrm{~cm}. Determine o módulo do campo elétrico
a 3,00 \mathrm{~cm} do centro da esfera. Considere uma segunda esfera isolante, de mesmo raio, com uma distribuição volumétrica de carga não uniforme e expressa por \rho=\left(6,00 p \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}\right) r / R, onde r é a distância em relação ao centro da esfera. Determine o campo elétrico para r=R / 2,00.

Passo 1

O enunciado dá duas situações com esferas isolantes (dielétricas) esféricas de mesmo raio e pede o módulo do campo elétrico em dois pontos distintos. Lista dos dados e perguntas:
  • Dados comuns:
    • Carga total da primeira esfera: Q=6{,}00\\ \mathrm{pC}=6{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{C}.
    • Raio das esferas: R=4{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m}.
    • Constante do vácuo: \varepsilon_0 (usaremos o valor numérico quando necessário).
  • Primeira pergunta (esfera com carga uniformemente distribuída):
    • Determinar o módulo do campo elétrico a 3{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m} do centro.
  • Segunda pergunta (esfera com densidade não uniforme):
    • A densidade volumétrica é \rho(r)=\rho_0\,(r/R), onde \rho_0=6{,}00\\ \mathrm{pC/m^3}=6{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^3}.
    • Determinar o módulo do campo elétrico para r=R/2.

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar: Lei de Gauss para simetria esférica — explicação didática.
  • A Lei de Gauss diz que, para uma superfície fechada, o fluxo elétrico total é igual à carga total envolvida dividido por \varepsilon_0. Para um caso com simetria esférica, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada na esfera carregada. A vantagem é que o campo na superfície tem módulo constante e direção radial, então a lei vira uma relação simples entre E e a carga envolvida Q_{\text{enc}}(r).
  • A fórmula que usamos é
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_0}.
  • Como \vec{E} é radial e constante sobre a esfera gaussiana, o fluxo é E\cdot 4\pi r^2. Portanto
E(r)\,4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_0},
ou isolando E(r),
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{r^2}.
  • Aqui:
    • E(r) é o módulo do campo elétrico na distância r do centro.
    • Q_{\text{enc}}(r) é a carga total contida dentro da esfera de raio r.
    • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
Nos próximos passos vamos calcular Q_{\text{enc}}(r) para cada distribuição e aplicar essa fórmula.

Passo 3

Primeira situação — esfera com carga uniformemente distribuída.
  • Em uma distribuição volumétrica uniforme, a densidade volumétrica \rho é constante e dado por \rho = Q / \left(\tfrac{4}{3}\pi R^3\right). Mas não precisamos escrever \rho explicitamente: a carga contida numa esfera de raio r\le R é proporcional ao volume até r, isto é
Q_{\text{enc}}(r)=Q\cdot\frac{\text{vol}(r)}{\text{vol}(R)}=Q\cdot\frac{\tfrac{4}{3}\pi r^3}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}=Q\frac{r^3}{R^3}.
  • Substituindo na fórmula do campo:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{r^2} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\,r^3/R^3}{r^2} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\,r}{R^3}.
  • Esta é uma consequência física importante: dentro de uma esfera uniformemente carregada o campo cresce linearmente com r (proporcional a r).
  • Agora substituímos os números para r=3{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m}:
    • Q=6{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{C}.
    • R=0{,}04\\ \mathrm{m} então R^3=(0{,}04)^3=6{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3}.
    • Usamos 1/(4\pi\varepsilon_0)=k\approx 8{,}98755179\times10^9\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
  • Calculemos passo a passo:
\frac{Q\,r}{R^3} =\frac{6{,}00\times10^{-12}\times 0{,}03}{6{,}4\times10^{-5}} =\frac{1{,}8\times10^{-13}}{6{,}4\times10^{-5}} =2{,}8125\times10^{-9}.
E(0{,}03\\ \mathrm{m})=k\times 2{,}8125\times10^{-9} \approx 8{,}98755179\times10^{9}\times 2{,}8125\times10^{-9} \approx 25{,}3\\ \mathrm{N/C}.
  • Resultado com três algarismos significativos: E(3{,}00\\ \mathrm{cm})\approx 25{,}3\\ \mathrm{N/C}.

Passo 4

Segunda situação — densidade não uniforme \rho(r)=\rho_0\,(r/R).
  • Vamos calcular a carga dentro de uma esfera de raio r\le R integrando a densidade volumétrica:
Q_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r} \rho(r')\,4\pi r'^2\,dr',
onde r' é a variável de integração (distância radial). Aqui \rho(r')=\rho_0\,(r'/R) e \rho_0=6{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^3}.
  • Substituindo:
Q_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r} \rho_0\frac{r'}{R}\,4\pi r'^2\,dr' =4\pi\frac{\rho_0}{R}\int_{0}^{r} r'^3\,dr'.
  • Calcule a integral:
\int_{0}^{r} r'^3\,dr'=\frac{r^4}{4}.
  • Logo
Q_{\text{enc}}(r)=4\pi\frac{\rho_0}{R}\cdot\frac{r^4}{4} =\pi\frac{\rho_0\,r^4}{R}.
  • Agora aplicamos a fórmula do campo:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{r^2} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\pi\rho_0 r^4/R}{r^2} =\frac{\rho_0\,r^2}{4\varepsilon_0 R}.
  • Observação: o fator \pi cancelou, resultando numa expressão simples. Aqui é bom interpretar: para essa distribuição \rho\propto r, o campo dentro cresce como r^2.
  • Agora avaliamos para r=R/2. Substitua r=R/2:
E\!\left(\frac{R}{2}\right) =\frac{\rho_0}{4\varepsilon_0 R}\left(\frac{R}{2}\right)^2 =\frac{\rho_0}{4\varepsilon_0 R}\cdot\frac{R^2}{4} =\frac{\rho_0 R}{16\varepsilon_0}.
  • Substituímos os valores numéricos:
    • \rho_0=6{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^3}.
    • R=0{,}04\\ \mathrm{m}.
    • \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Calcule o numerador:
\rho_0 R = 6{,}00\times10^{-12}\times 0{,}04 = 2{,}4\times10^{-13}.
  • Denominador:
16\varepsilon_0 = 16\times 8{,}854187817\times10^{-12}\approx 1{,}41667\times10^{-10}.
  • Dividindo:
E\!\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{2{,}4\times10^{-13}}{1{,}41667\times10^{-10}}\approx 1{,}70\times10^{-3}\\ \mathrm{N/C}.
  • Resultado com três algarismos significativos: E(R/2)\approx 1{,}70\times10^{-3}\\ \mathrm{N/C}.

Resposta

E(3{,}00\\ \mathrm{cm})\approx 25{,}3\\ \mathrm{N/C}
E\!\left(\dfrac{R}{2}\right)\approx 1{,}70\times10^{-3}\\ \mathrm{N/C}

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