(4) Demonstre as seguintes identidades vetoriais:
(b)
\vec{\nabla} \cdot(\vec{u} \times \vec{v})=\vec{v} \cdot(\vec{\nabla} \times \vec{u})-\vec{u} \cdot(\vec{\nabla} \times \vec{v})

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar a identidade
\vec{\nabla}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=\vec{v}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{u})-\vec{u}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{v}).
Informações dadas (implícitas): \vec{u}=\vec{u}(x,y,z) e \vec{v}=\vec{v}(x,y,z) são campos vetoriais suficientemente suaves (deriváveis). A operação \times é o produto vetorial, \vec{\nabla}\cdot é a divergência e \vec{\nabla}\times é o rotacional (curl). A demonstração será feita em componentes coordenadas cartesianas, que é direta e mecânica.

Passo 2

Definições e notação (explico passo a passo, sem pressa).
  • Componentes: escrevemos \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), onde u_i=u_i(x,y,z), v_i=v_i(x,y,z).
  • Divergência: a divergência de um campo \vec{F} tem componente escalar
\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\partial_1 F_1+\partial_2 F_2+\partial_3 F_3,
onde \partial_i significa derivada parcial em relação à coordenada x_i (isto é, \partial_1=\partial/\partial x, \partial_2=\partial/\partial y, \partial_3=\partial/\partial z).
  • Rotacional (curl): o componente i-ésimo do rotacional de \vec{u} pode ser escrito com o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk} como
(\vec{\nabla}\times\vec{u})_i=\varepsilon_{i j k}\,\partial_j u_k.
Aqui usamos convenção de soma de Einstein: índices repetidos são somados de 1 a 3.
  • Produto vetorial em componentes: (\vec{u}\times\vec{v})_i=\varepsilon_{i j k}\,u_j v_k.
  • Propriedades úteis do símbolo de Levi-Civita: é totalmente anti-simétrico; permutações cíclicas deixam \varepsilon inalterado ( \varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{k i j}=\varepsilon_{j k i}) e trocar dois índices muda o sinal.

Passo 3

Escrevo a divergência do produto vetorial em componentes usando as definições:
\vec{\nabla}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=\partial_i\big((\vec{u}\times\vec{v})_i\big)=\partial_i\big(\varepsilon_{i j k}\,u_j v_k\big).
(Isto vem de substituir (\vec{u}\times\vec{v})_i=\varepsilon_{i j k}u_j v_k na definição de divergência \partial_i(\cdot).)

Passo 4

Aplico a regra do produto (derivada de um produto): a derivada parcial age sobre u_j e sobre v_k:
\partial_i\big(\varepsilon_{i j k}\,u_j v_k\big) = \varepsilon_{i j k}\,(\partial_i u_j)\,v_k \;+\; \varepsilon_{i j k}\,u_j\,(\partial_i v_k).
Observação: \varepsilon_{i j k} é constante (não depende de x,y,z), então sai da derivada.

Passo 5

Analiso o primeiro termo e mostro que é \vec{v}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{u}).
Escrevo o termo
T_1=\varepsilon_{i j k}\,(\partial_i u_j)\,v_k.
Troco a ordem cíclica dos índices em \varepsilon: como \varepsilon_{i j k}=\varepsilon_{k i j} (permutação cíclica), posso reescrever
T_1=\varepsilon_{k i j}\,(\partial_i u_j)\,v_k.
Agora reconheço a definição do componente k-ésimo do rotacional de \vec{u}:
(\vec{\nabla}\times\vec{u})_k=\varepsilon_{k i j}\,\partial_i u_j.
Portanto
T_1=v_k\,(\vec{\nabla}\times\vec{u})_k=\vec{v}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{u}).
(Isto mostra de maneira explícita como o primeiro pedaço vira o produto escalar entre \vec{v} e o rotacional de \vec{u}.)

Passo 6

Analiso o segundo termo e mostro que é -\vec{u}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{v}).
Escrevo o termo
T_2=\varepsilon_{i j k}\,u_j\,(\partial_i v_k).
Uso a anti-simetria do \varepsilon para trocar os índices j e k: \varepsilon_{i j k}=-\varepsilon_{i k j}. Assim
T_2=-\varepsilon_{i k j}\,u_j\,(\partial_i v_k).
Agora faço uma renomeação de índices (índices de soma são livres para ser renomeados): trocando os nomes das letras de forma que fiquem na ordem usada na definição do rotacional, por exemplo renomeando i\to p, k\to q, j\to r, obtemos
T_2=-\varepsilon_{r p q}\,u_r\,(\partial_p v_q).
Mas \varepsilon_{r p q}\,\partial_p v_q=(\vec{\nabla}\times\vec{v})_r. Portanto
T_2=-u_r\,(\vec{\nabla}\times\vec{v})_r=-\vec{u}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{v}).
(Se preferir ver sem renomear: podemos também usar a igualdade cíclica \varepsilon_{i k j}=\varepsilon_{j i k} e então reconhecer diretamente a forma u_j\varepsilon_{j i k}\partial_i v_k que é u_j(\nabla\times v)_j, com sinal negativo já aplicado.)

Passo 7

Junto os dois termos obtidos em Passo 4:
\vec{\nabla}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) = T_1 + T_2 = \vec{v}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{u}) - \vec{u}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{v}).
Pronto — chegamos exatamente à identidade pedida.

Resposta

\vec{\nabla}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=\vec{v}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{u})-\vec{u}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{v})

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