(4) Demonstre as seguintes identidades vetoriais:
(b)
(b)
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar a identidade
Informações dadas (implícitas):
e
são campos vetoriais suficientemente suaves (deriváveis). A operação
é o produto vetorial,
é a divergência e
é o rotacional (curl). A demonstração será feita em componentes coordenadas cartesianas, que é direta e mecânica.
Passo 2
Definições e notação (explico passo a passo, sem pressa).
- Componentes: escrevemos
e , onde , . - Divergência: a divergência de um campo
tem componente escalar
onde
significa derivada parcial em relação à coordenada
(isto é,
,
,
).
- Rotacional (curl): o componente
-ésimo do rotacional de pode ser escrito com o símbolo de Levi-Civita como
Aqui usamos convenção de soma de Einstein: índices repetidos são somados de
a
.
- Produto vetorial em componentes:
. - Propriedades úteis do símbolo de Levi-Civita: é totalmente anti-simétrico; permutações cíclicas deixam
inalterado ( ) e trocar dois índices muda o sinal.
Passo 3
Escrevo a divergência do produto vetorial em componentes usando as definições:
(Isto vem de substituir
na definição de divergência
.)
Passo 4
Aplico a regra do produto (derivada de um produto): a derivada parcial age sobre
e sobre
:
Observação:
é constante (não depende de
), então sai da derivada.
Passo 5
Analiso o primeiro termo e mostro que é
.
Escrevo o termo
Escrevo o termo
Troco a ordem cíclica dos índices em
: como
(permutação cíclica), posso reescrever
Agora reconheço a definição do componente
-ésimo do rotacional de
:
Portanto
(Isto mostra de maneira explícita como o primeiro pedaço vira o produto escalar entre
e o rotacional de
.)
Passo 6
Analiso o segundo termo e mostro que é
.
Escrevo o termo
Escrevo o termo
Uso a anti-simetria do
para trocar os índices
e
:
. Assim
Agora faço uma renomeação de índices (índices de soma são livres para ser renomeados): trocando os nomes das letras de forma que fiquem na ordem usada na definição do rotacional, por exemplo renomeando
,
,
, obtemos
Mas
. Portanto
(Se preferir ver sem renomear: podemos também usar a igualdade cíclica
e então reconhecer diretamente a forma
que é
, com sinal negativo já aplicado.)
Passo 7
Junto os dois termos obtidos em Passo 4:
Pronto — chegamos exatamente à identidade pedida.