Explique o porquê das seguintes funções de onda não são fisicamente possíveis para todos os valores de x ?
Passo 1
Enunciado: explicar por que a função
não é fisicamente possível para todos os valores de
.
Dados fornecidos: a função é definida para todo e
é uma constante (pode ser complexa).
O que o enunciado pede: mostrar a razão física/matemática que impede essa função de representar um estado físico válido quando definida em todo o eixo real.
Dados fornecidos: a função é definida para todo
O que o enunciado pede: mostrar a razão física/matemática que impede essa função de representar um estado físico válido quando definida em todo o eixo real.
Passo 2
Condição essencial para uma função ser um estado físico: ela deve ser normalizável. Vou explicar isso devagarinho. A interpretação probabilística exige que a densidade de probabilidade em
seja
e que a probabilidade total seja
. Em fórmula isso é
Aqui
é o módulo ao quadrado da função de onda (se
for complexo usamos
), e a integral sobre todo o eixo dá a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar do espaço. Se essa integral diverge (fica infinita) não dá para escolher um
finito que normalize
, então a função não é fisicamente aceitável.
Passo 3
Calculemos o módulo ao quadrado de
. Como
,
Explico:
é o quadrado do módulo da constante
(se
for real,
); o fator
vem de
.
Passo 4
Agora avaliamos a integral de normalização:
Calcule a primitiva:
. Avaliando nos limites,
Aqui
e
, logo a integral diverge para
. Portanto
independente do valor finito de
.
Passo 5
Consequência imediata: não existe constante finita
tal que
satisfaça a condição de normalização
. A única forma formal de “normalizar” seria
, mas
não representa um estado físico (a probabilidade total seria zero). Logo
não é um estado físico quando definida em todo o eixo real.
Passo 6
Observações úteis (para você usar na prova):
- A função é contínua e finita para todo
finito, então continuidade e unicidade não são o problema; o problema é a integrabilidade quadrática (ser ). - Se o domínio fosse restrito, por exemplo
, aí a integral
é finita e dá uma normalização possível (por exemplo
para normalizar nessa meia-reta). Mas a pergunta pediu “para todos os valores de
”, ou seja, domínio inteiro, e aí não dá.
- Em contextos teóricos às vezes usam funções não normalizáveis (como ondas planas) como estados generalizados; mas na prática um estado físico normalizável é exigido.
Resposta
A função
não é fisicamente possível para todo
porque não é normalizável:
, logo não existe
finito que a normalize (salvo
, caso trivial e não físico).