Explique o porquê das seguintes funções de onda não são fisicamente possíveis para todos os valores de x ?
\psi(x)=A e^{x}

Passo 1

Enunciado: explicar por que a função \psi(x)=A e^{x} não é fisicamente possível para todos os valores de x.
Dados fornecidos: a função é definida para todo x\in(-\infty,\infty) e A é uma constante (pode ser complexa).
O que o enunciado pede: mostrar a razão física/matemática que impede essa função de representar um estado físico válido quando definida em todo o eixo real.

Passo 2

Condição essencial para uma função ser um estado físico: ela deve ser normalizável. Vou explicar isso devagarinho. A interpretação probabilística exige que a densidade de probabilidade em x seja |\psi(x)|^2 e que a probabilidade total seja 1. Em fórmula isso é
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\,dx = 1.
Aqui |\psi(x)|^2 é o módulo ao quadrado da função de onda (se A for complexo usamos |A|^2), e a integral sobre todo o eixo dá a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar do espaço. Se essa integral diverge (fica infinita) não dá para escolher um A finito que normalize \psi, então a função não é fisicamente aceitável.

Passo 3

Calculemos o módulo ao quadrado de \psi. Como \psi(x)=A e^{x},
|\psi(x)|^2 = |A|^2 e^{2x}.
Explico: |A|^2 é o quadrado do módulo da constante A (se A for real, |A|^2=A^2); o fator e^{2x} vem de (e^{x})^*(e^{x})=e^{x}e^{x}=e^{2x}.

Passo 4

Agora avaliamos a integral de normalização:
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\,dx = |A|^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{2x}\,dx.
Calcule a primitiva: \int e^{2x}\,dx = \tfrac{1}{2}e^{2x}. Avaliando nos limites,
|A|^2 \left[\tfrac{1}{2}e^{2x}\right]_{x=-\infty}^{x=+\infty} = \tfrac{|A|^2}{2}\left(e^{2\cdot\infty}-e^{2\cdot(-\infty)}\right).
Aqui e^{2\cdot\infty}=\infty e e^{2\cdot(-\infty)}=0, logo a integral diverge para \infty. Portanto
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\,dx = \infty,
independente do valor finito de |A|^2.

Passo 5

Consequência imediata: não existe constante finita A tal que \psi(x)=A e^{x} satisfaça a condição de normalização \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2=1. A única forma formal de “normalizar” seria A=0, mas \psi\equiv 0 não representa um estado físico (a probabilidade total seria zero). Logo \psi(x)=A e^{x} não é um estado físico quando definida em todo o eixo real.

Passo 6

Observações úteis (para você usar na prova):
  • A função é contínua e finita para todo x finito, então continuidade e unicidade não são o problema; o problema é a integrabilidade quadrática (ser L^2).
  • Se o domínio fosse restrito, por exemplo x\in(-\infty,0], aí a integral
\int_{-\infty}^{0} |A|^2 e^{2x}\,dx = \tfrac{|A|^2}{2}
é finita e dá uma normalização possível (por exemplo A=\sqrt{2} para normalizar nessa meia-reta). Mas a pergunta pediu “para todos os valores de x”, ou seja, domínio inteiro, e aí não dá.
  • Em contextos teóricos às vezes usam funções não normalizáveis (como ondas planas) como estados generalizados; mas na prática um estado físico normalizável é exigido.

Resposta

A função \psi(x)=A e^{x} não é fisicamente possível para todo x\in(-\infty,\infty) porque não é normalizável: \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\,dx = \infty, logo não existe A finito que a normalize (salvo A=0, caso trivial e não físico).

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