Explique o porquê das seguintes funções de onda não são fisicamente possíveis para todos os valores de x ?
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar por que a função de onda
não pode ser uma função de onda fisicamente válida para todo
.
Informações dadas:
- A função é
, com constante (possivelmente complexa). - O enunciado pede para considerar todos os valores de
(isto é, domínio ). - Não há outras condições explícitas (por ex., potenciais), então vamos usar as condições gerais exigidas para uma função de onda física.
Passo 2
Revisão didática das condições que uma função de onda deve satisfazer (explicando cada uma com calma):
- Normalização / quadrado integrável: a função de onda deve permitir interpretação probabilística. Isso exige que a densidade de probabilidade
seja integrável em todo o espaço e que exista constante de normalização tal que
Aqui
significa
; para uma função real como
,
.
- Função finita e única:
deve ser finita e unívoca para cada . Polinômios satisfazem isso. - Continuidade e suavidade: em potenciais finitos,
e sua derivada costumam ser contínuas — polinômios também satisfazem essas propriedades.
Portanto, o ponto crítico a checar é a condição de normalização (ser quadrado-integrável). Vou explicar passo a passo o que isso significa e como testar no nosso caso.
Passo 3
Teste de normalização para
.
Escrevemos a condição de normalização (ou, minimamente, a condição de ser quadrado-integrável):
Agora calculamos (como integral imprópria) a integral de
. Por simetria,
Calculemos a integral até um limite
e depois façamos
:
Tomando o limite
obtemos
Logo
e então
para qualquer
diferente de zero.
Passo 4
Consequências físicas e comentários extras (explicando por que isso impede a função de ser física):
- Não normalizável: como a integral de
diverge, não existe constante que torne a integral finita e igual a 1. Portanto não se pode interpretar como densidade de probabilidade (a probabilidade total seria infinita). - Caso extremo
: se a função é , que tem norma zero; isso não representa um estado físico (não pode ser normalizada para 1). - Outras propriedades (continuidade, suavidade) são satisfeitas por
, então o único obstáculo é a falta de decaimento no infinito. Para ser física numa linha inteira, a função de onda precisa decair suficientemente rápido quando (por exemplo, funções gaussianas decaem exponencialmente e são normalizáveis). - Observáveis problemáticos: além da probabilidade total infinita, valores esperados como
ou energia também seriam infinitos ou mal definidos se tentássemos forçar algum sentido físico.
Passo 5
Observação prática e dica para prova (como identificar rapidamente esse tipo de erro):
- Regra rápida: se
cresce como uma potência positiva de quando (por exemplo com ), a integral em diverge e a função não é normalizável. Para ser normalizável é preciso que decaia mais rápido que suficientemente (na prática decaimento exponencial ou pelo menos como para alguma ). - Exemplo contrastante: a gaussiana
com
é normalizável porque
decai exponencialmente e sua integral é finita.
Resposta
Não é fisicamente possível porque
não é quadrado-integrável em
:
, logo não existe
que normalize a função.