Explique o porquê das seguintes funções de onda não são fisicamente possíveis para todos os valores de x ?
\psi(x)=A x^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar por que a função de onda \psi(x)=A x^{2} não pode ser uma função de onda fisicamente válida para todo x\in(-\infty,\infty).
Informações dadas:
  • A função é \psi(x)=A x^{2}, com A constante (possivelmente complexa).
  • O enunciado pede para considerar todos os valores de x (isto é, domínio (-\infty,\infty)).
  • Não há outras condições explícitas (por ex., potenciais), então vamos usar as condições gerais exigidas para uma função de onda física.

Passo 2

Revisão didática das condições que uma função de onda deve satisfazer (explicando cada uma com calma):
  • Normalização / quadrado integrável: a função de onda deve permitir interpretação probabilística. Isso exige que a densidade de probabilidade |\psi(x)|^{2} seja integrável em todo o espaço e que exista constante de normalização tal que
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^{2}\,dx = 1.
Aqui |\psi(x)|^{2} significa \psi^*(x)\psi(x); para uma função real como A x^{2}, |\psi|^{2}=(A x^{2})^{2}=|A|^{2} x^{4}.
  • Função finita e única: \psi(x) deve ser finita e unívoca para cada x. Polinômios satisfazem isso.
  • Continuidade e suavidade: em potenciais finitos, \psi e sua derivada costumam ser contínuas — polinômios também satisfazem essas propriedades.
Portanto, o ponto crítico a checar é a condição de normalização (ser quadrado-integrável). Vou explicar passo a passo o que isso significa e como testar no nosso caso.

Passo 3

Teste de normalização para \psi(x)=A x^{2}.
Escrevemos a condição de normalização (ou, minimamente, a condição de ser quadrado-integrável):
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^{2}\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} |A x^{2}|^{2}\,dx = |A|^{2}\int_{-\infty}^{\infty} x^{4}\,dx.
Agora calculamos (como integral imprópria) a integral de x^{4}. Por simetria,
\int_{-\infty}^{\infty} x^{4}\,dx = 2\int_{0}^{\infty} x^{4}\,dx.
Calculemos a integral até um limite R e depois façamos R\to\infty:
\int_{0}^{R} x^{4}\,dx = \left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{R} = \frac{R^{5}}{5}.
Tomando o limite R\to\infty obtemos
\int_{0}^{\infty} x^{4}\,dx = \lim_{R\to\infty}\frac{R^{5}}{5} = \infty.
Logo
\int_{-\infty}^{\infty} x^{4}\,dx = \infty,
e então
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^{2}\,dx = |A|^{2}\cdot\infty = \infty,
para qualquer A diferente de zero.

Passo 4

Consequências físicas e comentários extras (explicando por que isso impede a função de ser física):
  • Não normalizável: como a integral de |\psi|^{2} diverge, não existe constante A que torne a integral finita e igual a 1. Portanto não se pode interpretar |\psi(x)|^{2} como densidade de probabilidade (a probabilidade total seria infinita).
  • Caso extremo A=0: se A=0 a função é \psi\equiv 0, que tem norma zero; isso não representa um estado físico (não pode ser normalizada para 1).
  • Outras propriedades (continuidade, suavidade) são satisfeitas por x^{2}, então o único obstáculo é a falta de decaimento no infinito. Para ser física numa linha inteira, a função de onda precisa decair suficientemente rápido quando |x|\to\infty (por exemplo, funções gaussianas decaem exponencialmente e são normalizáveis).
  • Observáveis problemáticos: além da probabilidade total infinita, valores esperados como \langle x^{2}\rangle ou energia também seriam infinitos ou mal definidos se tentássemos forçar algum sentido físico.

Passo 5

Observação prática e dica para prova (como identificar rapidamente esse tipo de erro):
  • Regra rápida: se |\psi(x)|^{2} cresce como uma potência positiva de |x| quando |x|\to\infty (por exemplo |x|^{n} com n\ge 0), a integral em (-\infty,\infty) diverge e a função não é normalizável. Para ser normalizável é preciso que |\psi(x)|^{2} decaia mais rápido que 1/|x| suficientemente (na prática decaimento exponencial ou pelo menos como 1/|x|^{1+\epsilon} para alguma \epsilon>0).
  • Exemplo contrastante: a gaussiana
\psi(x)=\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{1/4} e^{-\alpha x^{2}/2}
com \alpha>0 é normalizável porque |\psi|^{2} decai exponencialmente e sua integral é finita.

Resposta

Não é fisicamente possível porque \psi(x)=A x^{2} não é quadrado-integrável em (-\infty,\infty): \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^{2}\,dx=|A|^{2}\int_{-\infty}^{\infty}x^{4}\,dx=\infty, logo não existe A\neq 0 que normalize a função.

Exercícios relacionados