Uma carga de 18,0 \mu \mathrm{C} está no centro de um cubo de 5,0 \mathrm{~cm} de aresta. a) Determine o fluxo elétrico através da superfície do cubo. b) Se triplicarmos o valor da aresta, de quanto varia o fluxo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas claras:
  • Uma carga elétrica localizada no centro de um cubo: Q=18{,}0\\ \mu\mathrm{C}.
  • A aresta do cubo vale 5{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Pergunta (a): determinar o fluxo elétrico através da superfície do cubo.
  • Pergunta (b): se triplicarmos o valor da aresta, de quanto varia o fluxo?
Observações importantes extraídas do enunciado: a carga está inteiramente dentro do cubo (fica no centro), então a superfície fechada do cubo envolve a carga. A informação da aresta aparece, mas ainda não sabemos se será relevante — vamos verificar isso formalmente nos próximos passos.

Passo 2

Apresentando a lei que usamos (explicação didática e conceito):
  • A lei de Gauss para um campo elétrico diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada depende só da carga total envolvida por essa superfície, não da forma ou do tamanho da superfície. Em palavras: se uma carga está dentro da superfície fechada, ela gera um fluxo total igual a essa carga dividido pela constante \varepsilon_0. Se não há carga dentro, o fluxo total é zero.
  • A fórmula matemática (em bloco, isolada) é:
\Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}
onde:
  • \Phi é o fluxo elétrico total através da superfície fechada (unidade: \mathrm{N\cdot m^{2}/C}),
  • Q_{\text{int}} é a carga total envolvida pela superfície (unidade: \mathrm{C}),
  • \varepsilon_0 é a constante permissividade do vácuo (unidade: \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}), cujo valor numérico é aproximadamente \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}.
Explicação simples: o fluxo mede quantas linhas de campo “saem” (ou “entram”) pela superfície. Se a carga está dentro, o total de linhas que cruzam a superfície não depende de quão grande é o cubo — só depende de quantas linhas a carga produz, que é proporcional a Q.

Passo 3

Aplicando a lei de Gauss ao item (a) — cálculo passo a passo:
  1. Converter a carga para unidades do SI (Coulomb):
Q = 18{,}0\\ \mu\mathrm{C} = 18{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  1. Uso da fórmula da Lei de Gauss:
\Phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}.
  1. Substituindo os valores numericamente (colocando a expressão em bloco para ficar limpinha):
\Phi = \frac{18{,}0\times10^{-6}}{8{,}854187817\times10^{-12}}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
  1. Fazer a divisão em pasos: primeiro a razão das mantissas
\frac{18{,}0}{8{,}854187817}\approx 2{,}0322\ldots
e o fator de potência vem de 10^{-6}/10^{-12}=10^{6}. Então
\Phi \approx 2{,}0322\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
  1. Arredondando com 3 algarismos significativos (conduta comum em problemas de física de graduação):
\Phi \approx 2{,}03\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
Observação: a aresta 5{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m} foi convertida apenas por completude, mas não entrou no cálculo do fluxo porque, conforme a lei de Gauss, o fluxo depende apenas da carga dentro da superfície fechada.

Passo 4

Respondendo o item (b): triplicar a aresta — o que muda no fluxo?
  • Argumento conceitual: a lei de Gauss afirma que o fluxo total através de uma superfície fechada depende somente da carga interna. Triplicar a aresta do cubo altera o tamanho da superfície, mas não altera a carga que está dentro (a carga continua no centro e permanece Q=18{,}0\\ \mu\mathrm{C}). Portanto o fluxo total permanece o mesmo.
  • Conclusão numérica: a variação do fluxo \Delta\Phi ao triplicar a aresta é
\Delta\Phi = 0.
  • Em termos percentuais, a mudança é 0\%.

Resposta

\Phi \approx 2{,}03\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}
\Delta\Phi = 0 (variação nula; fluxo inalterado)

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