Uma carga com 40 \% molar de benzeno e 60 \% molar de tolueno com uma vazão de 100 \mathrm{kgmoles} / \mathrm{h} deve ser separada em um tanque de flash que opera a 1 atm . Desejamos um produto líquido com 30 \% molar de benzeno. Determine:
a) A composição do vapor;
b) A vazão do produto líquido.

Passo 1

O enunciado dá uma corrente de alimentação com 100\\ \mathrm{kgmol/h} contendo 40\% molar de benzeno e 60\% molar de tolueno, que entra num tanque de flash operando a 1\\ \mathrm{atm}. Desejamos que o produto líquido (saída líquida do flash) tenha 30\% molar de benzeno. Precisamos determinar: (a) a composição do vapor em equilíbrio com esse líquido; (b) a vazão do produto líquido.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;F=100\\ \mathrm{kgmol/h} (vazão da alimentação), \;z_B=0{,}40 (fração molar de benzeno na alimentação), \;z_T=0{,}60 (tolueno), pressão do flash \;P=1\\ \mathrm{atm}, fração molar líquida desejada \;x_B=0{,}30, \;x_T=0{,}70.
Vamos usar equilíbrio vapor–líquido ideal (Lei de Raoult) e a equação de Antoine para obter pressões de saturação dos componentes. Não há temperatura fornecida: na operação a pressão é fixa e a temperatura do flash ajusta-se ao equilíbrio — portanto teremos que encontrar a temperatura de equilíbrio que satisfaça o balanço de pressões parciais.

Passo 2

Conceito e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática). Para uma mistura ideal em equilíbrio à pressão total P vale a Lei de Raoult para cada componente i:
y_i = \frac{x_i\,P_i^{\text{sat}}(T)}{P},
onde
  • y_i é a fração molar do componente i na fase vapor;
  • x_i é a fração molar do componente i na fase líquida;
  • P_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor saturado do componente i à temperatura T;
  • P é a pressão total do sistema.
Como as frações molares do vapor somam 1, temos a condição
\sum_i y_i = 1 \quad\Longrightarrow\quad x_B P_B^{\text{sat}}(T) + x_T P_T^{\text{sat}}(T) = P.
Esta equação permite encontrar a temperatura T do equilíbrio quando se conhece x_i e P. Depois, com P_i^{\text{sat}}(T) calculadas, obtemos y_i pela Lei de Raoult.
Para obter P_i^{\text{sat}}(T) usamos a equação de Antoine (forma usual em mmHg):
\log_{10} P_i^{\text{sat}}(\text{mmHg}) = A_i - \frac{B_i}{T(^{\circ}\mathrm{C}) + C_i},
onde A_i,B_i,C_i são constantes específicas de cada substância. Convertendo para atm usamos 1\\ \mathrm{atm}=760\\ \mathrm{mmHg}.

Passo 3

Valores de Antoine (tabelas padrão) que vou usar (unidades: T em ^\circ\mathrm{C}, P^{\text{sat}} em mmHg):
  • Benzeno: A_B=6{,}90565,\; B_B=1211{,}033,\; C_B=220{,}79.
  • Tolueno: A_T=6{,}95464,\; B_T=1344{,}8,\; C_T=219{,}48.
Explicação curtinha: essas constantes estão em tabelas e são usadas para obter a pressão de vapor saturado de cada composto a uma dada temperatura. Vou calcular P_B^{\text{sat}} e P_T^{\text{sat}} em atm aplicando a Antoine e dividindo o resultado em mmHg por 760.

Passo 4

Equação a resolver para a temperatura do equilíbrio: com x_B=0{,}30 e x_T=0{,}70,
x_B P_B^{\text{sat}}(T) + x_T P_T^{\text{sat}}(T) = P = 1\\ \mathrm{atm}.
Vou calcular P_i^{\text{sat}}(T) (em atm) a partir de Antoine:
P_i^{\text{sat}}(\mathrm{atm}) = \frac{10^{\,A_i - \dfrac{B_i}{T + C_i}}}{760}.
Como não há solução analítica fechada, faço iterações numéricas (avaliando a soma ponderada das pressões) até atingir 1\\ \mathrm{atm}. Vou mostrar alguns pontos calculados para buscar a temperatura.

Passo 5

Avaliação numérica (vou mostrar algumas temperaturas testadas e os cálculos intermediários). Para cada T calculo P_B^{\text{sat}} e P_T^{\text{sat}} em atm e a soma ponderada S(T)=x_B P_B^{\text{sat}}(T)+x_T P_T^{\text{sat}}(T).
Testes (valores arredondados nas etapas para clareza, mantive precisão suficiente no cálculo):
  • Para T=96^\circ\mathrm{C}: P_B^{\text{sat}}\approx \frac{10^{3{,}07975}}{760}\approx\frac{1200{,}6}{760}\approx1{,}579\\ \mathrm{atm},
P_T^{\text{sat}}\approx \frac{10^{2{,}68904}}{760}\approx\frac{489{,}3}{760}\approx0{,}644\\ \mathrm{atm},
S(96)=0{,}30\cdot1{,}579+0{,}70\cdot0{,}644\approx0{,}9246\\ \mathrm{atm}\\ (<1).
  • Para T=98^\circ\mathrm{C}: P_B^{\text{sat}}\approx1{,}6805\\ \mathrm{atm},\qquad P_T^{\text{sat}}\approx0{,}6884\\ \mathrm{atm},
S(98)=0{,}30\cdot1{,}6805+0{,}70\cdot0{,}6884\approx0{,}9861\\ \mathrm{atm}\\ (<1\\ \text{mas perto}).
  • Para T=99^\circ\mathrm{C}: P_B^{\text{sat}}\approx1{,}7250\\ \mathrm{atm},\qquad P_T^{\text{sat}}\approx0{,}7099\\ \mathrm{atm},
S(99)=0{,}30\cdot1{,}7250+0{,}70\cdot0{,}7099\approx1{,}0144\\ \mathrm{atm}\\ (>1).
Vimos que S(98)<1 e S(99)>1, então a raiz está entre 98^\circ\mathrm{C} e 99^\circ\mathrm{C}. Faço interpolação linear simples entre esses pontos para obter uma boa aproximação:
T \approx 98^\circ\mathrm{C} + \frac{1 - S(98)}{S(99)-S(98)}\cdot(99-98) \approx 98 + \frac{0{,}0139}{0{,}0283}\approx 98{,}49^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular P_i^{\text{sat}} em T=98{,}49^\circ\mathrm{C} e obter y. Usando os valores calculados nessa T (arredondados):
P_B^{\text{sat}}(98{,}49^\circ\mathrm{C})\approx1{,}703\\ \mathrm{atm}, \qquad P_T^{\text{sat}}(98{,}49^\circ\mathrm{C})\approx0{,}699\\ \mathrm{atm}.
Aplicando a Lei de Raoult para o benzeno:
y_B = \frac{x_B\,P_B^{\text{sat}}}{P} = 0{,}30\cdot\frac{1{,}703}{1} \approx 0{,}5109.
Para o tolueno:
y_T = 1 - y_B \approx 0{,}4891.
Interpretação intuitiva: como o benzeno é mais volátil (tem maior P^{\text{sat}} nessa T), ele fica enriquecido na fase vapor; y_B é maior que x_B. Isso é exatamente o que esperamos.

Passo 7

Agora calculamos a vazão do produto líquido L usando balanço de matéria total e de componente (uso do balanço da espécie benzeno, que é mais direto). Balanço de benzeno:
F z_B = L x_B + V y_B,
com V=F-L. Substituindo V:
F z_B = L x_B + (F-L)y_B \quad\Longrightarrow\quad F(z_B - y_B) = L(x_B - y_B).
Logo
L = F\,\frac{z_B - y_B}{x_B - y_B}.
Substituo os números ( F=100\\ \mathrm{kgmol/h}, z_B=0{,}40, x_B=0{,}30, y_B\approx0{,}5109):
L = 100\cdot\frac{0{,}40 - 0{,}5109}{0{,}30 - 0{,}5109} =100\cdot\frac{-0{,}1109}{-0{,}2109}\approx100\cdot0{,}5262\approx52{,}62\\ \mathrm{kgmol/h}.
Portanto a vazão do produto líquido é aproximadamente 52{,}62\\ \mathrm{kgmol/h}. A vazão de vapor V é F-L\approx47{,}38\\ \mathrm{kgmol/h} (apenas para conferência).

Passo 8

Resumo numérico e checagens rápidas (para nos dar confiança):
  • Temperatura de equilíbrio aproximada: T\approx98{,}49^\circ\mathrm{C} (usada apenas como passo intermediário para obter P_i^{\text{sat}}).
  • Composição do vapor: y_B\approx0{,}5109,\;y_T\approx0{,}4891.
  • Balanço de benzeno com L encontrado fecha dentro do erro numérico (verificação implícita).

Resposta

a) Composição do vapor: y_B\approx0{,}5109 (benzeno), y_T\approx0{,}4891 (tolueno).
b) Vazão do produto líquido: L\approx52{,}62\\ \mathrm{kgmol/h}.

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