Para uma mistura binária, mostre que no ponto de bolha a composição da fase líquida é dada por: \mathrm{x}=\frac{1-k_{2}}{k_{1}-k_{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que, para uma mistura binária, no ponto de bolha a composição da fase líquida é dada por \displaystyle x=\frac{1-k_{2}}{k_{1}-k_{2}}.
Informações dadas / convenções que vamos usar:
  • A mistura é binária (duas espécies): chamarei a componente 1 e a componente 2.
  • x é a fração molar da componente 1 na fase líquida, isto é, x\equiv x_{1}. Então x_{2}=1-x.
  • y_{i} denota a fração molar da componente i na fase vapor em equilíbrio com a fase líquida.
  • k_{i} é a razão de equilíbrio (ou razão de distribuição) da componente i, definida por k_{i}=\dfrac{y_{i}}{x_{i}}.
  • No ponto de bolha a primeira bolha de vapor aparece e a soma das frações molares do vapor vale 1, ou seja \displaystyle y_{1}+y_{2}=1.

Passo 2

Explicação didática do conceito chave: razão de equilíbrio k_{i}.
  • A razão k_{i} relaciona a fração molar de vapor y_{i} com a fração molar do líquido x_{i}: k_{i}=\frac{y_{i}}{x_{i}}.Isso significa que, em equilíbrio, a parte de cada componente que vai para o vapor é proporcional à sua fração no líquido por um fator k_{i}. Rearranjando: y_{i}=k_{i}\,x_{i}.
  • Para uma mistura binária temos explicitamente: y_{1}=k_{1}x_{1}=k_{1}x \qquad\text{e}\qquad y_{2}=k_{2}x_{2}=k_{2}(1-x).Aqui eu usei x_{1}=x e x_{2}=1-x.

Passo 3

Aplicando a condição do ponto de bolha: a soma das frações molares do vapor é 1.
  • No ponto de bolha, a mistura líquida está exatamente no instante em que aparece vapor em equilíbrio, portanto: y_{1}+y_{2}=1.
  • Substituindo as expressões em termos de x: k_{1}x + k_{2}(1-x)=1.Esta é a equação que relaciona x com os k-valores no ponto de bolha.

Passo 4

Resolver a equação para x passo a passo (álgebra elementar).
  • Expande-se o termo: k_{1}x + k_{2} - k_{2}x = 1.
  • Agrupa-se os termos em x: (k_{1}-k_{2})x + k_{2} = 1.
  • Isola-se o termo com x: (k_{1}-k_{2})x = 1 - k_{2}.
  • Divide-se por (k_{1}-k_{2}) (pressupõe-se k_{1}\neq k_{2}; se k_{1}=k_{2} a equação precisa ser tratada separadamente): x = \frac{1 - k_{2}}{\,k_{1}-k_{2}\,}.

Passo 5

Interpretação física e checagem rápida com um exemplo numérico (para aprender a aplicar na prova).
  • Condição sobre k_{1} e k_{2}: precisamos de k_{1}\neq k_{2} para obter um x único; se k_{1}=k_{2} então y_{1}=kx e y_{2}=k(1-x) somam k, e a condição y_{1}+y_{2}=1 k=1 (caso especial em que vapor e líquido têm mesma composição).
  • Exemplo numérico rápido: suponha k_{1}=1{,}5 e k_{2}=0{,}5. Então x=\frac{1-0{,}5}{1{,}5-0{,}5}=\frac{0{,}5}{1{,}0}=0{,}5.Verificação: y_{1}=k_{1}x=1{,}5\cdot 0{,}5=0{,}75 e y_{2}=k_{2}(1-x)=0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}25; somam 0{,}75+0{,}25=1, ok.

Resposta

\displaystyle x=\frac{1-k_{2}}{k_{1}-k_{2}}

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